2025.5.8 二南集训树上问题

P9340 [JOISC 2023] Tourism (Day3)

题意：求 \([l,r]\) 内的点构成的虚树大小。

解法一

使用秃子酋长技巧，回滚莫队套 \(O(1) lca\)

解法二

转换贡献思想，常用于扫描线中。

考虑点 \(u\) 什么时候可以产生贡献，发现 \(u\) 在虚树上需要满足 \(2\) 个条件

• \(dep_u\geq dep_{lca(v)}(v\in S)\)。
• 存在点 \(v\in S\) 使得 \(u\) 是 \(v\) 的祖先。

第一个条件可以求多点 lca 解决。

第二个条件可以树剖，然后用 odt 维护。

若树剖修改到根路径，那么总是会剖成若干链的前缀，所以 odt 可以用栈来代替，获得更优的常数。

S2OJ 树上邻域数颜色

等效节点思想（非题目核心）。

对每个颜色建虚树，新增点使用 dp 等效为一个带初始距离点。

然后建 V 图，暴力拆成若干邻域信息，配合点分树维护邻域即可。

也可以点边容斥，树上两点的邻域交有时可以等效为它们中点的邻域。

P9527 [JOISC 2022] 洒水器

题意：

有一棵树，每个点有个点权

现在有 \(Q\) 次操作：
\(1 X,D,W\)：对树上与 \(X\) 距离不超过 \(D\) 的点，把他的点权 \(*=W\)
\(2 X\)：查询 \(X\) 的点权

\(N,Q\leq 10^6,D\leq40\)

代表元思想。

仅在查询和修改两点 lca 的深度最小的可行祖先处统计答案，使用暴力跳可以做到 \((n+q)D\) 的复杂度。

云斗 - 做个梦呀做个梦

解法一

使用 kenma 树上二分。

一类特殊的线段树上二分：

线段树上二分通常要求单调性，即布尔值为 \(1111111000000\) 或 \(0000111111\)，用于寻找 \(0/1\) 分界，只要求能够快速计算若干个节点所代表的区间的并是否可行。

而 kenma 树上二分不要求单调性，布尔值为 \(001100110100010110\)，用于寻找最后一个或第一个 \(1\)，要求线段树能够快速判断一个节点所代表的区间内是否存在合法解。

然后暴力树剖即可通过该题。

解法二

利用重链自顶向下做二分。

考虑求重心可以每次往 \(size\) 最大的一个子树跳过去，直到 \(size\) 不超过 \(sum\over 2\)。

从根出发，在重链上二分跳到一个临界位置，然后走一个轻儿子，切换重链，继续跳。

解法三

利用重链自底向上做二分。

带权重心可以这样求：排成 DFS 序，求出所有点的点权和 \(sum\)，找到第一个前缀和 \(\geq {sum\over2}\) 的点，那么重心就在根到这个点的路径上。

然后向上跳，即可分离 \(\log\)

P7124 [Ynoi2008] stcm

解法一

考虑菊花可以使用缺一分治维护。

考虑对 dfs 序 cdq 分治。

• 在处理区间 \([l,r]\) 时，只处理子树区间跨过 \(mid\) 的节点，由于子树的 dfs 序要么包含，要么不交，所以它们端点单调，因此复杂度能保证。

• 然后添加 \([l,mid]\)，递归 \([mid+1,r]\)

• 删除 \([l,mid]\)，添加 \([mid+1,r]\)，递归 \([l,mid]\)

• 删除 \([mid+1,r]\)

解法二

如果将分治建成一棵树，那么分治的本质是每次使用 \(O(|ls_u|+|rs_u|)\) 的代价处理 \(ls_u\) 和 \(rs_u\) 之间的贡献，最后实现一个优秀的复杂度。

如果分治树上叶子节点带权，那么最优的分治树应该是一棵哈夫曼树。

这是一个递归套递归的过程，先树剖，我们有如下策略。

• 考虑处理当前这条重链上所有点的答案。

• 从上到下暴力添加每个点的轻儿子以及自身，由于树剖后轻儿子子树大小之和为 \(n\log n\)，复杂度正确。

• 删除上一步的所有操作，对重链做缺一分治，分治树上每个叶子权值为原树上它的轻子树大小，然后建哈夫曼树，当递归到分治树叶子时递归处理下一条重链。

整个过程非常特别，类似的题目还有 [GYM102331J]Jiry Matchings - 题解，提交记录在 qoj。

写挂的地方：

想当然的认为一个节点只有最多一个轻儿子，请注意树上节点是多度数的，这是经常容易忽视的地方。