2025.4.17 近期题目整理

nfls Rikka with Shortest Path

不算难题，只是一些 trick 忘记了，加强一下记忆。

1. 最短路问题的常见处理方法：按照距离分层，然后逐层 dp。

2. 正着 dp 困难，可以倒着。

手法细节：如果不是一直在对一个数做加法，不能使用分支预测优化 smr 取模。

调试好方法：将题目中给定的常量 \(10^6\) 手动改为大小能接受手动模拟的数。

P10433 [JOISC 2024] 棋盘游戏 (Day2)

超级炫酷图论。

假了 \(2\) 处。

最后一步根号分治很奇妙。

对于 \(k\leq B\)，暴力，这个暴力细节很多，点的有效 dp 范围不一定为 \([1,{n\over k}]\)，可能整体会加上一个偏移量，这个东西可以通过预处理实现。

对于 \(k\gt B\)，由于贡献函数是个至多 \(k\) 段的函数，且函数上凸，所以可以将每一段线段看成直线，然后就能轻松求解。

启示：

重要思想：最优化问题，可以进行不优转移，但要保证一定能进行最优转移。如果觉得原问题不好做，不妨放宽限制。

请一定要多分讨各种情况。

为了验证性质正确性，可以多观察样例。

[ARC092F] Two Faced Edges

简单题，但是带来很多想法。

\(n=10^3,m=2\times 10^5\)
题目转化为求有向图删边 \((u,v)\) 后询问 \((u,v)\) 之间是否存在路径。

1. 炫酷 dfs
   枚举起点后，先 dfs 一遍，然后翻转出边数组，再 dfs 一遍，如果两次中 \(v\) 的深度均为 \(1\) 则不合法，\(O(nm)\)。

2. 缺一分治
   先求删点后的传递闭包，然后暴力枚举路径上最后一条边即可，\(O(nm)\)。

3. 前后缀合并
   删掉一个点的所有入边，求出一个点的所有出边的前缀和后缀的传递闭包，然后二者求或即可，\(O({nm\over w})\)

4. 优化前后缀合并
   这里仅说明前缀的做法。枚举 \(u\) 的出边 \(v\)，从 \(v\) 开始 dfs，但是使用 set 和 lower_bound 快速找到下一个未被访问过的点，也可以使用 bitset（只能 bfs），\(O(n^2\log n)\) 或 \(O({n^3\over w})\)

启示：

仅仅有一个特殊，可以使用 缺一分治/前后缀合并

传递闭包允许动态加点，添加的复杂度是 \(O({n^2\over w})\) 方法如下：

struct concave{
	bitset<N+5> e[N+5];
	void add(int u) {
		e[u]|=ve[u];
		for (int i{1};i<=n;++i)
			if (e[u][i]) e[u]|=e[i];
		for (int i{1};i<=n;++i)
			if (e[i][u]) e[i]|=e[u];
	}
}f;