log 理论

为何你的代码总是常数大？快来学习 \(\log\) 理论，看看究竟是哪里无形之中产生了大常数。

帮你理解各种 \(O(\log)\) 常数。

以下算法大体按照常数从小到大排序。

小：跑不满 \(\log\)。

中：大概会跑到 \(\log\)

大：会多于 \(\log\)

巨：约等于 \(\log^2\)

数据结构

小 \(\log\)

1. 树剖/dsu on tree
2. 树状数组
3. 李超线段树

中 \(\log\)

4. 普通 zkw 线段树

大 \(\log\)

5. 普通线段树

超级巨 \(\log\)

6. 主席树/其他动态开点线段树
7. map/set
8. 普通平衡树（FHQ）

注：以上线段树均指 pushup 和 pushdown 都很简短的线段树。

附：线段树各种操作的常数

单点操作/查询：中 \(\log\)

区间操作/查询：大 \(\log\)

全局二分：大 \(\log\)

区间二分：巨 \(\log\)（born_to_sun 版本）

线段树合并：巨 \(\log\)

可持久化线段树合并：超级巨 \(\log\)

更精细的常数，参见 数据结构的精细复杂度

算法

小 \(\log\)

1. 启发式分裂
2. 调和级数
3. 启发式合并
4. Boruvka

中 \(\log\)

5. \(\operatorname{sort}\)
6. 堆\(^{[1]}\)
7. lower_bound
8. 手写二分
9. 点分治/点分树
10. cdq 分治
11. st 表预处理

大 \(\log\)

12. 边分治
13. SA

注：\([1]\)，如果堆一直 push，很快，但是 pop 就很慢，原因不详。堆的空间常数可以粗略认为是 vector，因为堆的底层时限是 vector。

STL

1. vector

   一个或很少个数的 vector.push_back，很快。

   多个 vector.push_back，访问较为连续，一般。

   多个 vector.push_back，随机访问，很慢。

2. set

   和 vector 类似，但是因为复杂度带 \(\log\)，当插入元素个数一定时，常数关于容器个数呈单峰函数。

后记

部分算法因为核心思想不同，无法相互取代，常数大小很难比较。比如让我比较边分治和 SA 的常数就很困难，但 sort，堆，lower_bound 在某些条件下可以相互取代，因此常数能够比较。