2025.4.9 NFLS 组合数学题单

DFS Order 4

类似 HEOI SAO 的容斥。

设一个点的所有儿子从小到大编号为 \(u_i\)，点 \(u_i\) 编号最大的儿子为 \(v_i\)

首先问题转化为对于 \(\forall u_i\)，满足 \(u_{i-1} \lt u_i\lt v_{i-1}\)。

考虑按照这种不等关系连边，建图，会形成一张 DAG。

核心：容斥，如果钦定 \(u_i \gt v_{i-1}\)，那么图会形成一棵内向树，如果对这条边不做要求，那么图仍然会形成一棵内向树。

然后转化为对内向树拓扑序计数。

考虑一个点的所有兄弟进行 dp，设 \(f_{siz,i}\) 表示当前树的大小为 \(siz\)，当前点的深度比起始节点的深度大 \(i\) 的方案数。

转移就是考虑下一步是深度 \(+1\)，\(-1\)，不变，或者在顶上加上根。

注意深度不变时不能接单个节点。