凸性学习笔记

Slope Trick

有一些常见的手法：维护差分序列 \(f_{i} - f_{i-1}\)；维护凸包上的连续段；维护拐点。

这里的 Slope Trick 比较广义，也包括维护不凸的序列的差分。

CF1534G A New Beginning

考虑一条折线，距离 \((m,n)\) 最近的点，一定是直线 \(x+y = m+n\) 与折线的交点。

因此可以将所有点按照 \(x+y\) 排序，每个点在扫到对应的折线上时统计贡献。

我们可以设计出来 \(f_{s,x}\)，表示走到 \((x,s-y)\) 的最小花费。

转移有两种，一种是 \(f_x \larr f_x + |p-x|\)，一种是 \(f_x \larr \min(f_{x-1},f_{x})\)。

这个转移不好维护。发现 \(f\) 数组具有凸性。那么第二个操作相当于把凸包上斜率为 \(0\) 的段拉长，然后再把后面的段往后平移。

维护拐点。考虑开两个 pq，分别维护凸包上斜率为正、斜率为负的部分。第一个操作是插入两个拐点，第二个操作是平移，可以在第二个凸包上面整体打 tag 实现。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

P11598 [NOISG 2018 Finals] Safety

从前往后 \(dp\)。状态和转移是显然的，和上面一个题完全一样。写上一题的做法即可。

P3642 [APIO2016] 烟花表演

记录 \(f_{u,x}\) 表示 \(u\) 子树内，叶子深度全都为 \(x\) 的最小花费。

转移有两种：\(f_{u,x} += f_{v,x}\)，以及 \(f_{u,x+k} \larr \min(f_{u,x} + |k-p|)\)，其中 \(k \geq 0\)。

第二种是 \((\min,+)\) 卷积，所以每个 \(f_{u,*}\) 数组都是凸的。

第一个操作是凸包相加，第二个操作是一个简单的闵和。

维护拐点。第二个操作相当于弹掉斜率超过 \(1\) 的段，然后拉长斜率为 \(-1\) 的一段；第一个操作只需要把拐点序列合并起来。

使用启发式合并或可并堆即可。

CF573E Bear and Bowling

考虑从前往后 \(dp\)，\(f_i\) 表示选 \(i\) 个物品的最大权值。

这个不是凸的。但是根据一些神秘观察，\(\frac{f_{i+1} - f_i}{i}\) 是单调不增的。

也就是转移时，\(f_i\) 的一个前缀不选，剩余的选。

使用平衡树维护差分序列，转移可以先找到分界点，然后差分序列做一次插入、一次后缀加即可。

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另一个做法：这个问题，贪心选物品是对的。也就是，每次不断选择对总价值贡献最大的物品，加入子序列。

贪心需要做后缀 \(w_i \larr w_i + a_i\)，前缀 \(w_i \larr w_i + x\)。这个可以上 \(\rm KTT\) 直接做，\(O(n \log^{3} n)\)。

不会的话，有一个分块维护凸包的 trick，分块，然后对每一个块建出来凸包，这样整块加横坐标就可以快速做了。\(O(n \sqrt n)\)。

CF1787H Codeforces Scoreboard

跟上面那个一样。