P12417 基础构造练习题

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念题解！

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\(n\) 为奇数时是无解的。

考虑先假设所有数都是正整数。考虑数列中的最大值，要么只出现一次，要么出现偶数次，所以不可能让所有数都相等。

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\(n=2^k\) 的构造很显然。做 \(k\) 轮，第 \(j\) 轮让 \((i,i+2^j)\) 做操作，经过 \(k\) 轮后所有值就相等了。

比如 \(n=4\) 时，先 \((1,2)(3,4)\)，然后 \((1,3)(2,4)\)。

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当 \(n\) 为偶数时，考虑怎么让 \(\underbrace{a,a,\cdots,a}_{n-2},b,b\) 变得相等。

一种想法是，构造等比数列，然后用首尾配对之类的方法凑相等。

比如说，先依次对所有 \(i \leq n-4\) 做 \((i,n-1)\) 操作。序列变成

\[ab,a^2b,a^3b,\cdots,a^{n-4}b,a,a,a^{n-4}b,b \]

然后

\[ab,a^2b,a^3b,\cdots,a^{n-4}b,a,a,a^{n-4}b^2,a^{n-4}b^2 \]

接下来，配一配对，全部变成 \(a^{n-3}b^2\) 即可。操作次数 \(O(n)\)。

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如果直接用这个方法，每次加入两个数，复杂度是 \(T(n) = T(n-2)+O(n)\)，即 \(O(n^2)\) 的。

这个做法看上去比较浪费。考虑类似 \(n=2^k\) 做法的分治：

当 \(4 \mid n\) 时直接分成两个 \(\frac{n}{2}\)，两边分别做完后，对应位置合并。

当 \(4 \nmid n\) 时分成 \(\frac{n}{2}-1\) 和 \(\frac{n}{2}+1\)，两边分别做完后，合并前 \(\frac{n}{2}-1\) 对，然后用上面的方法，加入两个数。

复杂度是 \(T(n) = 2T(n/2) + O(n) = O(n \log n)\)。

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思考一下，加入两个数的构造，实际上是构造了等比数列，然后首尾拼接得到相同的值。

考虑沿用这里首尾拼接的思想。

因为 \(n = 2m\)，所以可以先把序列变成相同的两部分，记为 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)。

设 \(p_i = \prod_{j=1}^i a_i\)，\(s_i = \prod_{j=i}^m a_i\)。

然后沿用刚刚的方法。如果序列为 \(a_1,a_2,\cdots,a_m,b,b,b\)，可以将其变成

\[\bigg((bp_1),(bp_2),\cdots,(bp_{m-2}),(bp_{m-1})\bigg),\bigg((bp_{m}),(bp_{m}),b,b\bigg) \]

以及，如果序列为 \(a_1,a_2,\cdots,a_m,c,c,c\)，可以将其变成

\[\bigg((cs_m),(cs_{m-1}),\cdots,(cs_3),(cs_2)\bigg),\bigg((cs_1),(cs_1),c,c\bigg) \]

然后配一下对，可以全部变成 \((bc\prod_{i=1}^m a_i)\)。

就做到线性了。

接下来就是简单卡常了。