[arc223f] Zonal Score Maximization

arc223f

直接做做不了，所以这个划分肯定有性质。

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Hint 1

首先注意到，划分方案不会有长度 \(\geq 4\) 的段。因为可以把这样的段断成两段，权值会更大。

因此，每一段长度都是 \(2\) 或 \(3\)。

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Hint 2

注意到，答案权值几乎可以取到 \(1\) 到 \(n\) 的和。

因为 \(P\) 是排列，并且每段长度 \(\geq 2\)，所以每个数至多被计算一次。

• \(n\) 是偶数

将整个序列全都划分成 \(2\)，就取到了 \(1\) 到 \(n\) 的和，这是答案上界。

因此 \(n\) 为偶数时，必然有 \(f(A) = \frac{n(n+1)}{2}\)。所以，\(n\) 为偶数的问题是平凡的。

• \(n\) 是奇数

发现最优的划分，一定只存在一个长度为 \(3\) 的段，且别的段长度都是 \(2\)。

此时的权值是 \(f(A) = \frac{n(n+1)}{2} - x\)，其中 \(x\) 是长度为 \(3\) 的那段的中位数。

由于题目中，\(f(A) = X\) 已经给定，因此 \(x = \frac{n(n+1)}{2} - X\)，我们只需要统计有多少种排列，满足最优的中位数为 \(x\)。

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Hint 3

最优中位数 \(=x\) 不好算，但是 \(\geq x\) 好算。

设最优中位数 \(\geq x\) 的方案数为 \(g(x)\)。

\(g(x)\) 相当于，把 \(1 \sim x\) 的所有数填进去，设这些点是黑点，则不能存在某个 \(2i,2i+1,2i+2\) 中有超过 \(2\) 个黑点。

答案是 \(g(x)-g(x+1)\)。

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Hint 4

考虑把不能同时为黑色的点对连边。

大概长这样：

并且，有一些点已经固定黑色，有一些点已经固定白色，还有一些自由染色。然后需要数大小为 \(x\) 的独立集个数。

可以尝试从左往右 \(dp\)。

先把第一个点单独考虑，后面的点两个两个地考虑。

设 \(f_{i,k,0/1}\) 表示考虑完了前 \(i\) 对点，选了 \(k\) 个点，最右边的点是黑还是白。

直接转移就可以做到 \(O(n^2)\)。

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Hint 5

把上面的 \(f_{i,k,0/1}\) 看成关于 \(k\) 的多项式 \(F_0^{(i)}(x),F_1^{(i)}(x)\)。

分治 NTT 优化转移即可 \(O(n \log^2 n)\)。