随机游走

看视频学到的。

考虑一个（两个）经典问题：

有一个醉汉在二维平面上，从原点出发，每个时刻在 \(4\) 个方向之中，等概率选择一个方向行走一步。他是否一定能返回原点？

有一只醉鸟在三维空间中，从原点出发，每个时刻在 \(6\) 个方向之中，等概率选择一个方向行走一步。他是否一定能返回原点？

第一个问题中概率是 \(1\)。但第二个问题不一定能返回原点，返回概率大概是 \(0.34053\)。

正文

暂态与常返态

对于这种随机游走，考虑从一个状态开始游走，记能够再次返回的概率为 \({\mathbb P}(return)\)。

如果 \({\mathbb P}(return) = 1\)，称之为常返态。

如果 \({\mathbb P}(return) < 1\)，称之为暂态。

显然一个状态要么是常返态，要么是暂态。

接下来介绍如何判定状态是否常返。

暂态 / 常返态的判定

定义 \({\mathbb E}(return)\) 为：进行无限时间的随机游走，返回原点的期望次数（包括初始状态位于原点）。

我们声称，状态是常返态，等价于 \({\mathbb E}(return) = \infty\)（即，期望发散）。

证明

证明是容易的：假设 \({\mathbb P}(return) = r\)，我们有

\[\begin{aligned} {\mathbb E}(return) &= {\mathbb P}(return \geq 0) + {\mathbb P}(return \geq 1) + \cdots \\ &= 1 + r + r^2 + \cdots \end{aligned} \]

当 \(r<1\) 时，级数收敛为 \(\frac{1}{1-r}\)；当 \(r=1\) 时，级数发散，\({\mathbb E}(return) = \infty\)。证毕。

那你考虑，怎么计算 \({\mathbb E}(return)\)。这个我们拆贡献到每一步，把每一步返回原点的概率加起来就好了。

也就是我们找到了判定常返态的通用方法。这对于所有的无限随机游走问题，都是成立的。

嘟嘟嘟

考虑文章开头的问题。

对于二维平面的情形，第 \(2n\) 步返回的概率是 \(\frac{1}{4^{2n}} \sum_{x+y = n} \binom{n}{x,x,y,y}\)。

对于三维空间的情形，第 \(2n\) 步返回的概率是 \(\frac{1}{6^{2n}} \sum_{x+y+z = n} \binom{n}{x,x,y,y,z,z}\)。

我看视频里面说，二维的那个式子为 \(O(\frac{1}{n})\)，而调和级数是发散的，因此二维的 \({\mathbb P}(return) = 1\)。

三维的好像是 \(O(\frac{1}{n^{3/2}})\)，似乎会收敛，因此三维的 \({\mathbb P}(return) < 1\)。

这段没有自己推。