辗转相除法的证明

描述

给出两个整数 a 和 b，请计算 a 和 b 的最大公约数，通过 print 语句输出。

 

1≤b≤a≤1000

样例

评测机将通过执行命令 python main.py {a} {b} 来执行你的代码，并将 a 和 b 作为命令行参数传入。

样例一

当 a = 15， b = 12 时，程序执行打印出的结果为：

3

样例二

当 a = 10， b = 7 时，程序执行打印出的结果为：

1

挑战

你可以用时间复杂度比 O(n) 更小的方法来解决该问题吗？

 

 

import sys

a = int(sys.argv[1])
b = int(sys.argv[2])
# write your code here
# please print the greatest common divisor of a and b

def gcd(a, b):
    if a % b == 0:
        return b
    return gcd(b, a % b)

print(gcd(a, b))

 

如何证明辗转相除法的正确呢？？？

我自己想到的一个思路，假设a，b的最大公约数是k，则有a=mk, b=nk;当然，m<n

为了找到k，采用mk%nk=?k，?肯定是小于n的，如果能够使用迭代算法，让？=1，则两个求余结果就是k，也就是要找的最大公约数了。

好，迭代如下：

mk%nk=?k

nk%?k=??k

?k%??k=???k

??%???k=....

则?一直迭代下去肯定会为1。因为两个不断变小的整数相除求余一定会迭代终止，终止条件势必被除数是1.