AcWing算法提高课数学部分（持续更新中）
筛质数
思路：素数筛+离散化
1）看题目就知道要用到素数筛
2）其中有一个结论：1-r之间的素数不超过sqrt(r)
3）l~r的区间数字太大，但是r-l并不是很大，就转换成0~l-r
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define int long long const int maxn = 5e4+10;; const int maxx=1e6+10; bool vis[maxn]; // 0 为素数 1 为非素数 int tot, phi[maxn], prime[maxn]; int num[maxx]={0}; void CalPhi() { vis[1] = 1, phi[1] = 1; for (int i = 2; i < maxn; ++i) { if (!vis[i]) prime[tot++] = i, phi[i] = i - 1; for (int j = 0; j < tot; ++j) { if (i * prime[j] > maxn) break; vis[i * prime[j]] = 1; if (i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; } else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1); } } } int p[maxx]={0}; signed main(void){ CalPhi(); int a,b; while(~scanf("%lld %lld",&a,&b)){ memset(num,0,sizeof num); memset(p,0,sizeof p); for(int i=0;i<tot;i++){ if(prime[i]>=b){ break; } for(int j=a/prime[i];j*prime[i]<=b;j++){ if(j<2){ continue; } num[j*prime[i]-a]++; } } int minn=0,maxp=0; int flag=0; for(int j=0;j<=b-a;j++){ if(num[j]==0&&j+a>1){ p[flag++]=j+a; } } for(int i=1;i+1<flag;i++){ if(p[i+1]-p[i]>p[maxp+1]-p[maxp]) maxp=i; if(p[i+1]-p[i]<p[minn+1]-p[minn]) minn=i; } if(flag<2){ printf("There are no adjacent primes.\n"); }else{ printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant.\n",p[minn],p[minn+1],p[maxp],p[maxp+1]); } } }
分解质因数
思路：
1）打素数表
2）当我们算一个素数i的含有多少个的时候，拆分成计算1-n中的数中有多个数有i，i^2，i^3…，当然我们计算的时候，计算含有这个素数的个数的时候要按照上面样例中求2的方式求，就是横着求，才能够缩短时间复杂度
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 10000001; bool vis[maxn]; // 0 为素数 1 为非素数 int tot, phi[maxn], prime[maxn]; void CalPhi() { vis[1] = 1, phi[1] = 1; for (int i = 2; i < maxn; ++i) { if (!vis[i]) prime[tot++] = i, phi[i] = i - 1; for (int j = 0; j < tot; ++j) { if (i * prime[j] > maxn) break; vis[i * prime[j]] = 1; if (i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; } else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1); } } } int p[maxn]={0}; int main(){ int n; scanf("%d",&n); CalPhi(); int flag=0; for(int i=2;i<=n;i++){ if(vis[i]==0){ flag=0; int s=n; int now; while(s){ flag+=s/i; s/=i; } printf("%d %d\n",i,flag); } } }
快速幂
思路：补集
1）注意加减的时候，取余需要加一个mod再进行取余，不然会出现负数
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; #define int long long const int mod=100003; inline long long Pow(long long a, long long n, long long m) { long long t = 1; for (; n; n >>= 1, a = (a * a % m)) if (n & 1) t = (t * a % m); return t % m; } signed main(void){ int n,m; scanf("%lld %lld",&m,&n);//不越狱m m-1 m-1 …… 总：m*m*m*m*…… printf("%lld\n",(Pow(m,n,mod)%mod-m*Pow(m-1,n-1,mod)%mod+mod)%mod); }
约数个数
思路：主要是公式推导，最后推到成看(n!)^2的约数个数（推倒思路见前文章）
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; const int maxx=1e6+10;//约数个数 横向求解的过程 const int maxn = 10000001; const int mod=1e9+7; bool vis[maxn]; // 0 为素数 1 为非素数 int tot, phi[maxn], prime[maxn]; void CalPhi() { vis[1] = 1, phi[1] = 1; for (int i = 2; i < maxn; ++i) { if (!vis[i]) prime[tot++] = i, phi[i] = i - 1; for (int j = 0; j < tot; ++j) { if (i * prime[j] > maxn) break; vis[i * prime[j]] = 1; if (i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; } else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1); } } } int p[maxx]={0}; int main(){ int n; scanf("%d",&n); CalPhi(); long long int s=1; for(int i=0;i<tot;i++){ if(prime[i]<=n){ int now=n; int flag=0; while(now){ flag+=now/prime[i]; now/=prime[i]; } flag*=2; flag%=mod; s*=flag+1; s%=mod; } } printf("%lld\n",s); }
思路：AcWing 198. 反素数 - AcWing（三个结论）
1）1~n中最大的反质数就是1~n中约数个数最多的数中最小的一个
2）1~n中任何数的不同质因子都不会超过10个，因为2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31>2*10^9，且所有质因数的指数总和不超过30，因为2^31>2e9
3）x的质因数是连续的若干最小的质数，且质数的质数单调递减。如果不连续，例如选择3 7不如选择相同指数个数的2 3，这样的数更小。指数的问题就是，如果质数前面的大后面的小，两者指数交换，得到的数肯定比这个数小
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; #define int long long int prime[15]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}; int s_cnt=1e9+1,s_num=1; int c[15]; int n; void dfs(int now,int cnt,int num){//现在到了哪一个 现在的乘积，现在的约数个数 if(now==11){ if((num>s_num)||(cnt<s_cnt&&num==s_num)){ s_num=num; s_cnt=cnt; } return; } int now_cnt=cnt;//现在的乘积 for(int i=0;i<=c[now-1];i++){ if(now_cnt>n){ return; } c[now]=i; dfs(now+1,now_cnt,num*(i+1)); now_cnt*=prime[now]; } } signed main(void){ scanf("%lld",&n); c[0]=2e9; dfs(1,1,1); printf("%lld\n",s_cnt); }
结论：
欧拉函数
思路：AcWing 220. 最大公约数(通俗易懂&效率高) - AcWing
主要是转换，通过gcd(x*d,y*d)=d，转换为找gcd(x,y)=1的总数，这样的话先打素数表，再去求欧拉函数的和（为了减少时间复杂度，也可以先利用前缀和进行欧拉函数的求和）
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; #define int long long const int maxn = 10000001; bool vis[maxn]; // 0 为素数 1 为非素数 int tot, phi[maxn], prime[maxn]; void CalPhi() { vis[1] = 1, phi[1] = 1; for (int i = 2; i < maxn; ++i) { if (!vis[i]) prime[tot++] = i, phi[i] = i - 1; for (int j = 0; j < tot; ++j) { if (i * prime[j] > maxn) break; vis[i * prime[j]] = 1; if (i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; } else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1); } } } signed main(void){ int n; scanf("%lld",&n); CalPhi(); int sum=0; for(int i=0;i<tot;i++){ if(prime[i]<=n){ int flag=0; for(int j=2;j<=n/prime[i];j++){ flag+=phi[j]; } flag*=2; sum+=flag+1;//算上a=b,且为素数 } } printf("%lld\n",sum); }
同余
思路：裸中国剩余定理AcWing 1298. 曹冲养猪 - AcWing
代码：
#include <iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 15; int n; int a[N], m[N]; void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { if (!b) x = 1, y = 0; else { exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; } } int main() { cin >> n; LL M = 1; for (int i = 0; i < n; ++ i) { cin >> m[i] >> a[i]; M *= m[i]; //读入mi的同时计算M } LL res = 0; for (int i = 0; i < n; ++ i) { LL Mi = M / m[i]; //计算Mi = M/mi LL ti, y; //这一步是求逆元，根据逆元公式的衍生公式可以得到 ti * Mi + y * mi = 1 exgcd(Mi, m[i], ti, y); res += a[i] * Mi * ti; //计算的同时累加到res中（上述公式里有个sum需要累加） } cout << (res % M + M) % M << endl; //对于任意x+kM都是满足要求的解，但目标是输出最小的正整数x，因此取模即可 return 0; }
矩阵乘法
思路：主要是矩阵的构造
代码：
#include <iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 3; int n, m; ll A[N][N] = // 上述矩阵 A { {2, 0, -1}, {1, 0, 0}, {0, 1, 0} }; ll S[N] = {2, 1, 0}; // 上述矩阵 S（转置） void multi(ll A[], ll B[][N]) // 计算方阵 B 乘向量 A，并将结果储存在 A 中 { ll ans[N] = {0}; for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j < N; j ++ ) ans[i] += A[j] * B[i][j] % m; for (int i = 0; i < N; i ++ ) A[i] = ans[i] % m; } void multi(ll A[][N], ll B[][N]) // 计算方阵 A * B，并将结果储存在 A 中 { ll ans[N][N] = {0}; for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j < N; j ++ ) for (int k = 0; k < N; k ++ ) ans[i][j] += A[i][k] * B[k][j] % m; for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j < N; j ++ ) A[i][j] = ans[i][j] % m; } signed main(void) { scanf("%d %d",&n,&m); while(n){ if(n&1) multi(S,A); multi(A,A); //printf("%lld\n",n); n>>=1; } printf("%lld\n",(S[2]%m+m)%m); }
思路：AcWing 1304. 佳佳的斐波那契 - AcWing
主要是构造了一个新的函数，必须构造的新函数让其是线性相关的，不可以有系数，不然就会出现n相关的，这样矩阵就不是常数矩阵了
代码:
#include <iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 4; int n, m; ll A[N][N] = // 上述矩阵 A { {0 , 1 , 0 , 0}, {1 , 1 , 1 , 0}, {0 , 0 , 1 , 1}, {0 , 0 , 0 , 1} }; ll S[N] = {1, 1, 1, 0}; // 上述矩阵 S（转置） void _multi(ll A[], ll B[][N]) // 计算方阵 B 乘向量 A，并将结果储存在 A 中 { ll ans[N] = {0}; for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j < N; j ++ ) ans[i] += A[j] * B[j][i] % m; for (int i = 0; i < N; i ++ ) A[i] = ans[i] % m; } void multi(ll A[][N], ll B[][N]) // 计算方阵 A * B，并将结果储存在 A 中 { ll ans[N][N] = {0}; for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j < N; j ++ ) for (int k = 0; k < N; k ++ ) ans[i][j] += A[i][k] * B[k][j] % m; for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j < N; j ++ ) A[i][j] = ans[i][j] % m; } void get(int n) // 求出 X[n] { while (n) { if (n & 1){ _multi(S, A); } multi(A, A); n >>= 1; } } signed main(void) { scanf("%d %d",&n,&m); get(n-1); long long int s=(((n*S[2]-S[3])%m+m)%m); //printf("%lld %lld\n",S[2],S[3]);//1 0 printf("%lld\n",s); }
组合数学
思路：前缀和+dp，令f[i]表式如果此位是1的话，那么有多少种情况，s[i]主要是前缀和，为了方便计算f[i]，还可以计算出最后需要的结果
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int maxx=1e5+10; const int mod=5000011; int main(){ long long int a[maxx]={0},s[maxx]={0}; int n,k; scanf("%d %d",&n,&k); a[0]=1; s[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++){ if(i<=k+1){ a[i]=1; }else{ a[i]=s[i-1-k]; } s[i]+=(s[i-1]+a[i])%mod; } long long sum=0; sum=s[n]; printf("%lld\n",((sum%mod+mod)%mod)); }
思路：主要是切分的方法要记住
