考前复习

复习笔记

3397

这个图有 \(2n-2\) 条边，而一个点分别会在正图和反图出现一次，所以把除了 \(1,n\) （必为根节点）的点拆成正图点和反图点，而一条边只出现在一个树上，因此考虑用二分图刻画这个图。

发现如果从找父亲出发，一个点会选择唯一的一条边作为自己的父亲边，所以一条边在正图相当于给编号小的点一个父亲边，在反图相当于给编号大的点一个父亲边，且只能给俩人中的一个父亲边，所以相当于二分图上左侧 \(2n-2\) 条边，连向右侧两点，求得就是完美匹配个数。

这个问题太难，但我们发现其实左侧点每个度数都为 \(2\)，考虑把这个点变为连接他二分图上连的两个点之间的一条边，并给他定向，指向谁就表示匹配给谁，发现转化后要求变为使每个点各有恰好一入度，因此对于每个连通块，只有基环树满足要求，而基环树的定向方式有 \(2\) 种，所以用并查集维护每个连通块是否为基环树，如果不是输出 \(0\)，否则输出 \(2^{连通块个数}\)。

3404

简单规律题

3405

赛时写了个“很强”的假做法把大洋里全过了，结果交上去 \(35\)，别人用按秩合并秒了。

正解是划分等价类，并把每次的合并变成建边，在 \(2\) 时暴力 \(dfs\) 后缩点，这样是 \(O(n\alpha(n))\)，但实际上常数挺大。

3406

其实很典，把边看作一个约束关系，问题可以转化为把序列分为不同区间，区间内部的限制都不超过区间的左右端点，这个把限制写出来之后可以发现就是个三维偏序。

3407

类人群星闪耀时，不是很可补

3356

考虑对于一团数以他们最高的二进制位划分为上下两个集合，显然优先选上面集合的数并删掉部分下方集合的数，发现删掉的是一段后缀，所以不用真的去删，改变右端点，之后递归处理就好了。

3357

考虑这个限制其实很强，只需要使 \(a_{1,i}\) 合法，后续只要不出现自相矛盾的情况，就能构造出矩阵其他所有数，然后组合求第一行填数方法即可。、

3360

考虑在一个已有哈密顿回路的图上加边以增加回路数量，发现后续只需考虑每种环被算了多少次，组合数一下再乘上不同的环数，然后把组合数拆出来 \(O(n)\) 算即可。

3361

考虑用贪心的策略来转移，发现过程大概为不断向右拓展，到某个颜色出现的最后一次时变为那个颜色，然后之前所有同色的就合并了，若和左边的颜色一样则没有贡献，而上下两个颜色不同则说明要 \(2\) 次操作，否则 \(1\) 次，然后只需考虑 \(f_{i,1/2}\) 表示扩展到 \((1,i),(2,i)\) 的最小数即可。

3362

尺取法，区间内 \(lcm\) 各不相同等价于每个数都在一个质因子上严格最大，然后用 \(set\) 维护出现次数的集合并记录其编号，维护最大值即可。

3372

绿绿构造，首先 \(t\) 是某个串的子序列显然无解，然后顺序考虑 \(t\) 中的字符，设为 \(t_i\)，把每个串未加入答案序列的部分中第一个出现 \(t_i\) 的位置前的所有字符加入答案序列，再把这个字符加入，因为每个字符至少与 \(t\) 在其中一位相异，因此总会在与 \(t\) 匹配完之前提前被全部加入答案序列，所以这样构造的序列无法匹配到最后一位，不是 \(t\) 的子序列，符合要求。

3373

单峰可以直接顺序操作，没有特殊情况，直接输出最大值，先把相邻同奇偶合并。

考虑只有 \(2\) 个峰的情况，手玩一下可以发现 \(2\) 个峰是可以等价合并起来的，就是把中间的谷每个往上 \(+2\)，直到只有 \(1\) 个峰为止。那么 \(2\) 个峰能合并，所有峰都能合并，于是就做完了。

3374

对于 \(k\le 16\) 的情况使用状压即可，复杂度 \(O(n^3\cdot2^k)\)，对于 \(k>16\)，可以发现整个序列只能被分为 \(3\) 个左右长为 \(k\) 的段，此时这个可以压进状态，因此考虑把整个序列分为 \(3\) 列，第 \(i\) 列排着 \((i-1)*k+j\) 的所有下标，这样 \(dp\) 时状压第 \(i\) 行有多少个 \(1\)，以 \(1,k+1,2k+1,2,k+2,...,n\) 的顺序 \(dp\)，可以发现一个数的影响已经被压进状态里了，剩下的暴力转移，复杂度是 \(O(n^3\cdot (k+1)^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor})\) 。

3234

简单签到，但出题人临时改题面，恶心。

3235

直接做是一般图匹配，不可做，但进一步发觉性质后发现，一个点是依靠 \(x\) 还是靠 \(y\) 来匹配有一条边指向左还是右节点的类似性质，算是一个经典 \(trick\)，所以考虑把 \(x\) 坐标和 \(y\) 坐标看作点，一个点 \((x,y)\) 则是连接横坐标 \(x\) 和纵坐标 \(y\)的边，这个图显然是二分图，左侧横坐标右侧纵坐标。

问题转化为给每条边定向，使得每个点的入度为偶数，容易发现充要条件是一个连通块内有偶数条边，并查集 \(check\) 即可。

3236

循环移位的意义就是把一个格子抛到最后，使两边相同颜色的两段合并，最终要使颜色段之间不相交，考虑转化为保留尽可能多的颜色段，在每个颜色左端点时决策是否抛弃中间的所有其他颜色，其他地方时判断是否把 \(i\sim n\) 全部删掉即可。

3237

根号分治，对于 \(k\) 大的莫队暴力询问，对于 \(k\) 小的莫队维护值域，记录每一块的最小值，因为加入只会一个一个数加，最小值每次变动也是 \(O(1)\)，因此两种情况都是移动 \(O(1)\)，设 \(B\) 为阈值，第一种询问 \(O(\frac{q}{B})\)，第二种 \(O(B)\)， 综合起来最劣复杂度分别是 \(O(\frac{n^2}{B})\)，\(O(n^{\frac{3}{2}}B^{\frac{1}{2}})\)，平衡后得出 \(B=n^{\frac{1}{3}}\) 时最平均，但不知道为什么我的程序在 \(B=10\) 时跑的最快？

3240

注意到答案的一次函数贡献形式，显然有选取的 \(0\) 的个数单调递增，因此枚举分界点并求出两边 \(0\) 连续段，\(1\) 连续段的 \(max\) 值，第一次 \(O(n^2)\) 卷积，之后不断增加 \(0\) 的选取数量，即左端点右移打擂台即可。

3238

考虑把每次减掉的数拿出来，发现要么直接是序列中原有的，要么是之前被减过的，把这些之前被减过的数加回到他减的那个数那，就又变成了原序列中的数，因此如果后手要赢，即操作完一顿后没有数留下，必要条件是能选出若干数，相加等于所有数总和的一半。

接下来考虑充分性，如果上述条件满足，则所有数会被分为两个总和相等的集合，无论先手选哪个数，后手只要选另一个集合的数，两个集合就会减去相同值，最终因为两数总和相同且减去相同值，操作完后一定会同步归零，所以先手必败，反之一定会剩一个数出来，先手必胜，\(bitset\) 维护即可。

3400

简单 \(hash+\)前缀和。

3401

类似递归子问题的 \(dp\) 思想，我们预处理 \(dp\)，设 \(f_{i,j}\) 表示第一行 \(i\) 个点，第二行 \(j\) 个点且当前在上面的方案数，转移考虑必须经过新加进来的新点，首先有同层转移，注意新的点可以做起点也可以做终点（做终点时插入到原终点还没被覆盖的一侧），\(2\cdot \sum\limits ^{i-1}_{k=1} f_{k,j}\to f_{i,j}\)，前缀和优化即可，然后有从另一层转移的方案，把图倒过来即可表示跨层，再考虑 \(i\) 可以直接被到达并插入 \(i\) 个空位中，或者直接不走，有 \(i\) 个点可作为起点， \(i \cdot (f_{j,i-1}+1)\to f_{i,j}\)。

3402

纯粹的组合推导，考虑枚举中间 \(LDS\) 和 \(LIS\) 共用的那个数字，随后两边方案独立且镜像处理，决策第 \(i\) 个数是属于哪一个数列的，枚举此数列的上一个数，然后这之间的数都是另一个数列的，可减法分讨出有多少个，放置方案数即为 \(\large \binom{i-k-1}{a_j-a_i-1-b}\)。

注意到不同的中间数字只有最后两个数会变，所以只做一次扫描就行。

3428

注意到线段不相交，因此我们考虑依次添加线段并关注每个点从第 \(i\) 根竹子往上爬的终点位置变化，发现横一根竹子相当于交换两根柱子的终点位置，所以问题转化为每次交换相邻的数，要多少次能构造出给定排列。

若给定的不是排列则无解，否则操作次数为逆序对个数。

3432

简单题不多赘述

3433

考虑区间 \(dp\) 维护贪心过程，即用 \(n^3\) 枚举贪心转移点来获得全局最优，比较经典。

3434

考虑递归子问题式地处理，每次进行容斥，并以此确定一些位置再逐步递归，很有启发意义，复杂度玄学。

3412

手摸阳历，考虑在尽可能高的地方放药来减少用药，发现只有在某个点下方 \(2\) 个点都要用药时才必须用药，从下往上统计即可。

3413

先不考虑子串的限制，发现这玩意就是个满二叉树，贡献就是 \(2^{n+1}-1\)，接下来考虑哪些贡献重复，发现只有两个起点只差 \(1\) 且相同的串会被并为一个节点，这其实就是说全是同一个字符，考虑这种情况的节点能被多少种方式到达，乘上 \(2^{len+1}-1-len\) 之后再减掉就行，多少种方式就是个经典的组合，即左边 \(i\) 个数右边 \(j\) 个数，有多少种删空的方式，注意左侧最后一个点要最后删，\(\binom{i+j-1}{j-1}\) 即可。

3415

假设集合价值 \(A<B<C\)，把序列分成两半，左侧搜索所有