关于一些数学知识

素数

素数（也叫质数）是指：一个大于 1 的自然数，除了 1 和它本身以外，不再有其他因数的数。

合数

合数是指：一个大于 1 的自然数，除了 1 和它本身以外，还有其他因数的数。

因数

定义：如果整数 \(a\) 除以整数 \(b\) 的余数为 0，那么 \(b\) 就是 \(a\) 的因数。

质因数

定义：如果一个数是 \(a\) 的因数，而且这个数本身还是个素数，那它就叫 \(a\) 的质因数。

什么是平凡因子？

对于任何一个整数 \(n\)，它总是具有一些显而易见的、形式上的因子。这些因子被称为“平凡因子”。

1.对于整数 \(n\) 而言：

\(1\) 是平凡因子（因为任何整数都能被 \(1\) 整除）。

\(n\) 本身 是平凡因子（因为任何整数都能被自身整除）。

注：有时在考虑负数时，\(-1\) 和 \(-n\) 也被视为平凡因子。

2. 为什么叫“平凡”？

在数学中，“平凡”（Trivial）一词通常用来描述那些：

显而易见、不需要复杂推导即可得出的结论。

在特定结构中总是存在、无法提供“额外信息”的简单特例。

因此，称它们为“平凡因子”，是因为这些因子在任何整数的定义中必然存在，它们无法揭示该整数内部的构成规律。

3. “平凡”与“非平凡”的对比

与“平凡因子”相对应的是“非平凡因子”（Nontrivial Factors）。

非平凡因子是指除了 \(1\) 和 \(n\) 以外的因子。

关于素数的筛法

Way一.试除法（常用与素数筛）
代码实现：
\(Code\):

int n ;
cin >> n ;
for(int i = 2;i <= n;i++){
int tep = i ;
map<int,int>mp; 
for(int j = 2;j * j <= tep;j++ ){
 while(tep % j == 0){
 tep /= j ;//tep能被j整除所以j是tep的一个质因子
 mp[j]++ ;
 			}
}
if(tep > 1)mp[tep]++ ;//由基本定理1解释
}

\(conclusion\):

---

每一个能整除 \(n\) 的因子 \(j\)，由于它前面的“因数”已经被剔除了，它自己必然是一个无法再分解的质数。

1.基于“最小因子必为质数”的性质

在数学中，有一个基础定理：
“若\(n>1\),则\(n\)的大于\(1\)的最小正因子必然为质数"

数学描述：

当我们从小到大进行试除时，第一个能被整除 \(n\) 的数 \(j\) 必然是n的最小非平凡因子。根据上述定理，\(j\) 必然是质数。当我们执行\(n\) = \(n\) / \(j\) 并继续从小到大寻找新的最小因子时，由于操作的单调性，每一个被确定的因子都满足“当前剩余待分解部分的最小因子”这一属性，因此他们全是质数。

2. 基于“素因数分解的唯一性”

利用算术基本定理，任何整数 \(n\) 都可以唯一地表示为：

\[n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} \quad (p_1 < p_2 < \cdots < p_k) \]

数学描述：

试除法是一个逐项剥离的过程。

• 当 \(j = 2\) 时，我们剥离了 \(p_1\) 的所有幂次 \(a_1\)。
• 此时剩余部分 \(n' = p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)。
• 由于 \(p_2 > p_1\)，在 \(j\) 增长到 \(p_2\) 之前，任何 \(j \in (p_1, p_2)\) 都不可能整除 \(n'\)。
• 因为若存在合数 \(m \in (p_1, p_2)\) 能整除 \(n'\)，则 \(m\) 的质因子必属于集合 \(\{p_2, \dots, p_k\}\)，这与 \(m < p_2\) 矛盾。

Way2:埃氏筛
思想：先假设所有的数都是素数，由于素数的倍数一定是合数，用1来标记合数，数值为0的自然就是质数了
\(Codetemplate\)

void sieve_prime(int n,vector<bool>&a)
{

    a[0] = a[1] = 1 ;//由于0，1不是质数，所以令他们为1
    for(int i = 2;i * i <= n;i++)
    {
        if(a[i] == false){
            for(int j = i * i;j <= n;j+=i)
            {
                a[j] = 1 ;
            }
        }
    }
}

唯一分解定理

即任何一个数都可以表示成多个不同的质数的幂次方相乘
数学化表达如下：

核心算式

任何一个大于 \(1\) 的整数 \(n\)，都可以写成：

\[n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times p_3^{a_3} \times \cdots \times p_k^{a_k} \]

这里的符号代表：

• \(p_1, p_2, \dots, p_k\)：是不同的素数（比如 \(2, 3, 5 \dots\)），我们通常习惯从小到大排。
• \(a_1, a_2, \dots, a_k\)：是这些素数出现的次数（也就是指数）。