CF60E Mushroom Gnomes

CF60E Mushroom Gnomes

[10月10日的茶](Problem - 60E - Codeforces)

考虑蘑菇在一分钟后有什么变化

\[\begin{align} &S_0 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 ... + a_{n-1} + a_{n} \\ &S_1 = a_1 +(a_1 + a_2) + a_2 + (a_2 + a_3) + a_3 + ... + a_{n-1} + (a_{n-1} + a_{n}) + a_{n}\\ &S_1 = S_0 + a_1 + a_2 + a_2 + a_3 + a_3 + ... + a_{n-1} + a_{n-1} + a_{n} \\ &S_1 = S_0 + 2S_0 - (a_1 + a_n) \\ &S_1 = 3S_0 - (a_1 + a_n) \end{align} \]

设\(C = -(a_1 + a_n)\) 可见可用矩阵描述转移

\[\begin{bmatrix} S_1\\ C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_0\\ C \end{bmatrix} \]

第二次生长前还要进行一次排序，排序后 \(a_1\) 作为最小值不变，而最大值不再是 \(a_n\)

按照上面的变化，可以看出第一分钟后的最大值是 \(a_{n-1} + a_n\) 第二次是 \((a_{n-1} + a_n) + a_n\) ......

循环往复，变化如同斐波那契数列，同样可以用矩阵描述

\[\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0\\ b_0 \end{bmatrix} \]

因此，可以用矩阵快速幂计算出第一次变化后的 \(S\) 和 \(C\) 然后据此再用矩阵快速幂求出答案

代码

注意：当 \(n\) 为 \(1\) 的时候，蘑菇不会生长，直接输出 \(a_1\) 并注意取模