杨辉三角
浅析杨辉三角 中蕴含的数学规律
Undeep explanation about the mathematic laws in the Yanghui Triangle numerical matrix
前言
First words
我国古代流传下来了很多优秀的文学作品，而对于科学也有很深入的研究。今天，本渣就来给诸位 渣渣 神犇科普一下我国古代的一个数学杰作——杨辉三角。
注：
本篇浅析真的是浅析！对杨辉三角之规律已有较深了解的诸位大佬大可不看！大水警告！
本篇博客使用了部分Chinese English（中国式英语），较为蹩脚。（但不影响阅读，I hope so）
（本渣之英语几何哉？止增笑耳。）
此外，本文中很多蓝色字符都是本渣加亮所用，并非超链，请注意。
（不过点了也没事，不会转移。）
本篇浅析使用的编程代码为C++语言。
千古大家
Dalao
杨辉，字谦光，南宋数学家，钱塘（今浙江杭州）人,共有著述五种二十一卷，代表成就：杨辉三角。
当然，除了杨辉三角，杨辉老先生还有其他的数学成就，比如：
这个 “九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出” 的神奇口诀：
再比如：
这个八十一宫格，（从九宫格层层衍生而来）
重大发现
The Great Discovery
//注：此特殊三角形数阵最初是由北宋的贾宪发现的，并在《黄帝九章算法细草》记录，故此数阵又称贾宪三角形（Jiaxian Triangle）；后此作失传，但此数阵被南宋杨辉引用于《详解九章算法》，得以流传。从年代上来说，以上两位都是宋朝人，而西方直到1654年才由布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal）独立发现此规律，故西方也称之为帕斯卡三角形（Pascal Triangle），但帕斯卡晚了近600年。必须承认，这是中国科学史上又一个领先世界的成就。
广义规律
c0 c1 c2 c3 c4 c5
r0 1
r1 1 1
r2 1 2 1
r3 1 3 3 1
r4 1 4 6 4 1
r5 1 5 10 10 5 1
......
很明显，每行第一个（\(j=0\)）与最后一个（即对角线上，\(j=i\)）的数是1，其余每一个数是它上方与左上方两个数的和。
也就是说：
a[i][j] = ( j && (j-i) ) ? a[i-1][j-1] + a[i-1][j] : 1 ;
另外，我们也可以看出：第\(n\)行有\(n+1\)个数，并以第\(\frac{n+1}{2}\)个数为中心对称。
也就是说：
a[i][j] = a[j+1-i][j];
关于选取组数（\(C^{m}_{n}\)）
给大家找来了一张图，这张图告诉我们，杨辉三角可表示为：↓
这张图很言简意赅吧？
如果我们标那个单独的'1'为第零行第零列（\(a[0][0]\)），则当 \(j>0\) 时，\(a[i][j]=C^{i}_{j}\)
同时，我们也可以通过这张图得出：\(C^{m}_{n} = C^{m-1}_{n-1} + C^{m}_{n-1}\)
关于多项式乘方系数
大家都知道，对于两个和不为0的数\(a,b\)，有：
\((a+b)^0=1\)
\((a+b)^1=(a+b)=a+b\)
\((a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
......
不知道？那现在你该知道了
把系数拎出来：
r0 1
r1 1 1
r2 1 2 1
r3 1 3 3 1
......
诶？好像有点眼熟？
没错，杨辉三角第\(n\)可以看作是按照\((a+b)^n\)的每一项的系数排列的。
然后，我们刚刚讲过，对于杨辉三角数组\(a\)，有\(a[i][j]=C^{i}_{j}\)，也就是说：
That means...
\((a+b)^n = \sum^{i = 0}_{n} C^{i}_{n} a^{i}b^{n-i}\)
关于斐波那契数列
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
↑眼熟不？鸟不拉几，呸！斐波那契数列 相信是很多OIer写的第一个递归程序：
f[0] = f[1] = 1;
for ( int i = 2; i <= n; i++ ) f[i] = f[i-1] + f[i-2];
没错，杨辉三角神通广大，斐波那契数列也包含其中。
结语
Last words
不得不说，杨辉三角是中国科学史上又一个领先世界的成就。看着如此简单的数阵，其中蕴含了如此多的数学规律。介于本篇浅析的趋向是偏于浅显，部分高深的规律本渣在此未作表述，望对此有高深研究的读者见谅。不过若还有通俗易懂点之遗漏的话，欢迎指出，我会添加。
另外，本篇浅析若有用语不当或材料错误，欢迎斧正。
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