代数：方程与函数

方程与函数

概述

零点存在性定理

如果函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)，则 \(\exist x_0 \in [a, b]\)，使 \(f(x_0) = 0\)。

一元一次方程和一次函数

形如 \(ax + b = 0 (a \ne 0)\) 的方程称为一元一次方程。
形如 \(y = kx + b (k \ne 0)\) 的函数称为一次函数，如果 \(b = 0\)，该一次函数称为正比例函数。

一元二次方程和二次函数

形如 \(ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0)\) 的方程称为一元二次方程。
形如 \(y = ax^2 + bx + c (a \ne 0)\) 的函数称为二次函数。

零点和根

一元二次方程判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\)。

• 若 \(\Delta > 0\)，该方程有两个实根 \(x = \dfrac {-b \pm \sqrt{\Delta}} {2a}\)；
• 若 \(\Delta = 0\)，该方程有一个实根 \(x = -\dfrac b {2a}\)；
• 若 \(\Delta < 0\)，该方程无实根。

利用两点式可以快速求出根。

图像

形状由 \(a\) 决定，若 \(a > 0\)，二次函数开口向上；若 \(a < 0\)，二次函数开口向下。\(|a|\) 越大，二次函数图像越靠近 \(y\) 轴；\(|a|\) 越趋近于 \(0\)，二次函数图像越靠近 \(x\) 轴。
极值点由 \(a, b\) 决定，当 \(x = -\dfrac b {2a}\) 时函数取到极值，极值点坐标为 \((-\dfrac b {2a}, \dfrac {4ac - b^2} {4a})\)。
二次函数图像关于对称轴 \(x = -\dfrac b {2a}\) 对称。

利用顶点式可以快速求出极值。

韦达定理

一元二次方程两根 \(x_1, x_2\) 有以下关系

\[x_1 + x_2 = -\dfrac b a \]

\[x_1 x_2 = \dfrac c a \]

逆定理

如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 满足以下关系

\[\alpha + \beta = -\dfrac b a \]

\[\alpha\beta = \dfrac c a \]

那么 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0)\) 的两根。

推广

设一元 \(n\) 次方程 \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0 (a_n \ne 0)\) 的根为 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，则

\[x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\dfrac {a_{n-1}} {a_n} \]

\[x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \dfrac {a_0} {a_n} \]