数论：阶与原根

阶与原根

阶

若正整数 \(a, p\) 互素，满足 \(a^k \equiv 1 \pmod p\) 的最小的 \(k\) 被称为 \(a\) 模 \(p\) 的阶，记作 \(\delta_p(a)\)。
例如：\(\delta_5(114) = 2\)。

性质 1 若 \(a^n \equiv 1 \pmod p\)，\(\delta_p(a) \mid n\)。

推论 若正整数 \(a, p\) 互素，\(\delta_p(a) \mid \varphi(p)\)。

性质 2 若正整数 \(a, p\) 互素，\(a, a^2, a^3, \dots, a^{\delta_p(a)}\) 模 \(p\) 两两不同余。

原神

若正整数 \(a, p\) 互素，且 \(a\) 模 \(p\) 的阶恰好为 \(\varphi(p)\)，则称 \(a\) 为模 \(p\) 的一个原根。

原根存在性定理 对于素数 \(p\)，模 \(p\) 的原根存在，且有 \(\varphi(\varphi(p)) = \varphi(p - 1)\) 个。（证明见参考资料二）

原根判定定理 若 \(m \ge 3\)，\((g, m) = 1\)，\(g\) 是模 \(m\) 的原根的充分必要条件是：对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因数 \(p\)，\(g^{\frac{\varphi(m)}{p}} \not\equiv 1 \pmod m\)。

最小原根范围估计 素数 \(p\) 的最小原根 \(g_p = O(p^{0.25 + \epsilon})\)。

参考资料

阶与原根 - 知乎
原根的概念、性质及其存在性 - 知乎