一种类似狄利克雷卷积的数论函数运算

参考 题解 P3704 【[SDOI2017]数字表格】。

Luogu P3704 [SDOI2017] 数字表格

求

\[\prod\limits_{i = 1}^n \prod\limits_{j = 1}^m f_{\gcd(i, j)} \]

其中 \(f_i\) 表示斐波那契数列的第 \(i\) 项。

本题存在莫比乌斯反演解法。

定义一种运算 \(\otimes\) 为

\[f \otimes g = \prod\limits_{d \mid x} f(d)^{g(\frac x d)} \]

显见其不满足交换律也不满足结合律。

设 \(*\) 表示狄利克雷卷积，则 \(\otimes\) 将满足

\[(f \otimes g) \otimes h = f \otimes (g * h) \]

证明如下

\[\begin{align*} &((f \otimes g) \otimes h)(n) \\ = &\prod\limits_{d \mid n} (f \otimes g)(n)^{h(\frac n d)} \\ = &\prod\limits_{d \mid n} \left( \prod\limits_{k \mid d} f(n)^{g(\frac d k)} \right)^{h(\frac n d)} \\ = &\prod\limits_{d \mid n} \prod\limits_{k \mid d} f(n)^{g(\frac d k) h(\frac n d)} \\ = &\prod\limits_{k \mid n} \prod\limits_{d \mid \frac n k} f(k)^{g(d) h(\frac n {kd})} \\ = &\prod\limits_{k \mid n} f(k)^{\left( \sum_{d \mid \frac n k} g(d) h(\frac n {kd}) \right)} \\ = &\prod\limits_{k \mid n} f(k)^{(g * h)(\frac n k)} \\ = &f \otimes (g * h) \end{align*} \]

若

\[g = f \otimes 1 \]

则

\[g \otimes \mu = f \]

上式可以通过等量代换证明。

将斐波那契数列视为一个数论函数，考虑上式，\(g(n) = \prod\limits_{d \mid n} {f_d}^{\mu(\frac n d)}\)，则

\[\begin{align*} &\prod\limits_{i = 1}^n \prod\limits_{j = 1}^m f_{\gcd(i, j)} \\ = &\prod\limits_{i = 1}^n \prod\limits_{j = 1}^m \prod\limits_{d \mid \gcd(i, j)} g(d) \\ = &\prod\limits_{d = 1}^n \prod\limits_{i = 1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \prod\limits_{j = 1}^{\lfloor \frac m d \rfloor} g(d) \\ = &\prod\limits_{d = 1}^n g(d)^{\lfloor \frac n d \rfloor \lfloor \frac m d \rfloor} \end{align*} \]

内层 \(O(n \ln n)\) 预处理，外层数论分块。