图的遍历之 深度优先搜索和广度优先搜索

本章会先对图的深度优先搜索和广度优先搜索进行介绍，然后再给出C/C++/Java的实现。

目录 
1. 深度优先搜索的图文介绍 
1.1 深度优先搜索介绍 
1.2 深度优先搜索图解 
2. 广度优先搜索的图文介绍 
2.1 广度优先搜索介绍 
2.2 广度优先搜索图解 
3. 搜索算法的源码

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深度优先搜索的图文介绍

1. 深度优先搜索介绍

图的深度优先搜索(Depth First Search)，和树的先序遍历比较类似。

它的思想：假设初始状态是图中所有顶点均未被访问，则从某个顶点v出发，首先访问该顶点，然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 若此时尚有其他顶点未被访问到，则另选一个未被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

显然，深度优先搜索是一个递归的过程。

2. 深度优先搜索图解

2.1 无向图的深度优先搜索

下面以"无向图"为例，来对深度优先搜索进行演示。

 

对上面的图G1进行深度优先遍历，从顶点A开始。

 

第1步：访问A。 
第2步：访问(A的邻接点)C。 
    在第1步访问A之后，接下来应该访问的是A的邻接点，即"C,D,F"中的一个。但在本文的实现中，顶点ABCDEFG是按照顺序存储，C在"D和F"的前面，因此，先访问C。 
第3步：访问(C的邻接点)B。 
    在第2步访问C之后，接下来应该访问C的邻接点，即"B和D"中一个(A已经被访问过，就不算在内)。而由于B在D之前，先访问B。 
第4步：访问(C的邻接点)D。 
    在第3步访问了C的邻接点B之后，B没有未被访问的邻接点；因此，返回到访问C的另一个邻接点D。 
第5步：访问(A的邻接点)F。 
    前面已经访问了A，并且访问完了"A的邻接点B的所有邻接点(包括递归的邻接点在内)"；因此，此时返回到访问A的另一个邻接点F。 
第6步：访问(F的邻接点)G。 
第7步：访问(G的邻接点)E。

因此访问顺序是：A -> C -> B -> D -> F -> G -> E

 

2.2 有向图的深度优先搜索

下面以"有向图"为例，来对深度优先搜索进行演示。

 

对上面的图G2进行深度优先遍历，从顶点A开始。

 

第1步：访问A。 
第2步：访问B。 
    在访问了A之后，接下来应该访问的是A的出边的另一个顶点，即顶点B。 
第3步：访问C。 
    在访问了B之后，接下来应该访问的是B的出边的另一个顶点，即顶点C,E,F。在本文实现的图中，顶点ABCDEFG按照顺序存储，因此先访问C。 
第4步：访问E。 
    接下来访问C的出边的另一个顶点，即顶点E。 
第5步：访问D。 
    接下来访问E的出边的另一个顶点，即顶点B,D。顶点B已经被访问过，因此访问顶点D。 
第6步：访问F。 
    接下应该回溯"访问A的出边的另一个顶点F"。 
第7步：访问G。

因此访问顺序是：A -> B -> C -> E -> D -> F -> G

广度优先搜索的图文介绍

1. 广度优先搜索介绍

广度优先搜索算法(Breadth First Search)，又称为"宽度优先搜索"或"横向优先搜索"，简称BFS。

它的思想是：从图中某顶点v出发，在访问了v之后依次访问v的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。如果此时图中尚有顶点未被访问，则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以v为起点，由近至远，依次访问和v有路径相通且路径长度为1,2...的顶点。

2. 广度优先搜索图解

2.1 无向图的广度优先搜索

下面以"无向图"为例，来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G1为例进行说明。

 

第1步：访问A。 
第2步：依次访问C,D,F。 
    在访问了A之后，接下来访问A的邻接点。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，C在"D和F"的前面，因此，先访问C。再访问完C之后，再依次访问D,F。 
第3步：依次访问B,G。 
    在第2步访问完C,D,F之后，再依次访问它们的邻接点。首先访问C的邻接点B，再访问F的邻接点G。 
第4步：访问E。 
    在第3步访问完B,G之后，再依次访问它们的邻接点。只有G有邻接点E，因此访问G的邻接点E。

因此访问顺序是：A -> C -> D -> F -> B -> G -> E

2.2 有向图的广度优先搜索

下面以"有向图"为例，来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G2为例进行说明。

 

第1步：访问A。 
第2步：访问B。 
第3步：依次访问C,E,F。 
    在访问了B之后，接下来访问B的出边的另一个顶点，即C,E,F。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，因此会先访问C，再依次访问E,F。 
第4步：依次访问D,G。 
    在访问完C,E,F之后，再依次访问它们的出边的另一个顶点。还是按照C,E,F的顺序访问，C的已经全部访问过了，那么就只剩下E,F；先访问E的邻接点D，再访问F的邻接点G。

因此访问顺序是：A -> B -> C -> E -> F -> D -> G

搜索算法的源码

这里分别给出"邻接矩阵无向图"、"邻接表无向图"、"邻接矩阵有向图"、"邻接表有向图"的C/C++/Java搜索算法源码。这里就不再对源码进行说明，please RTFSC；参考源码中的注释进行了解。

邻接矩阵无向图

/**
	* C++: 邻接矩阵表示的"无向图(Matrix Undirected Graph)"
	*
	* @author skywang
	* @date 2014/04/19
	*/
	#include <iomanip>
	#include <iostream>
	#include <vector>
	using namespace std;
	#define MAX 100
	class MatrixUDG {
	private:
	char mVexs[MAX];    // 顶点集合
	int mVexNum;             // 顶点数
	int mEdgNum;             // 边数
	int mMatrix[MAX][MAX];   // 邻接矩阵
	public:
	// 创建图(自己输入数据)
	MatrixUDG();
	// 创建图(用已提供的矩阵)
	MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
	~MatrixUDG();
	// 深度优先搜索遍历图
	void DFS();
	// 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
	void BFS();
	// 打印矩阵队列图
	void print();
	private:
	// 读取一个输入字符
	char readChar();
	// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置
	int getPosition(char ch);
	// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
	int firstVertex(int v);
	// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
	int nextVertex(int v, int w);
	// 深度优先搜索遍历图的递归实现
	void DFS(int i, int *visited);
	};
	/*
	* 创建图(自己输入数据)
	*/
	MatrixUDG::MatrixUDG()
	{
	char c1, c2;
	int i, p1, p2;
	// 输入"顶点数"和"边数"
	cout << "input vertex number: ";
	cin >> mVexNum;
	cout << "input edge number: ";
	cin >> mEdgNum;
	if ( mVexNum < 1 || mEdgNum < 1 || (mEdgNum > (mVexNum * (mVexNum-1))))
	{
	cout << "input error: invalid parameters!" << endl;
	return ;
	}
	// 初始化"顶点"
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	{
	cout << "vertex(" << i << "): ";
	mVexs[i] = readChar();
	}
	// 初始化"边"
	for (i = 0; i < mEdgNum; i++)
	{
	// 读取边的起始顶点和结束顶点
	cout << "edge(" << i << "): ";
	c1 = readChar();
	c2 = readChar();
	p1 = getPosition(c1);
	p2 = getPosition(c2);
	if (p1==-1 || p2==-1)
	{
	cout << "input error: invalid edge!" << endl;
	return ;
	}
	mMatrix[p1][p2] = 1;
	mMatrix[p2][p1] = 1;
	}
	}
	/*
	* 创建图(用已提供的矩阵)
	*
	* 参数说明：
	*     vexs  -- 顶点数组
	*     vlen  -- 顶点数组的长度
	*     edges -- 边数组
	*     elen  -- 边数组的长度
	*/
	MatrixUDG::MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen)
	{
	int i, p1, p2;
	// 初始化"顶点数"和"边数"
	mVexNum = vlen;
	mEdgNum = elen;
	// 初始化"顶点"
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	mVexs[i] = vexs[i];
	// 初始化"边"
	for (i = 0; i < mEdgNum; i++)
	{
	// 读取边的起始顶点和结束顶点
	p1 = getPosition(edges[i][0]);
	p2 = getPosition(edges[i][1]);
	mMatrix[p1][p2] = 1;
	mMatrix[p2][p1] = 1;
	}
	}
	/*
	* 析构函数
	*/
	MatrixUDG::~MatrixUDG()
	{
	}
	/*
	* 返回ch在mMatrix矩阵中的位置
	*/
	int MatrixUDG::getPosition(char ch)
	{
	int i;
	for(i=0; i<mVexNum; i++)
	if(mVexs[i]==ch)
	return i;
	return -1;
	}
	/*
	* 读取一个输入字符
	*/
	char MatrixUDG::readChar()
	{
	char ch;
	do {
	cin >> ch;
	} while(!((ch>='a'&&ch<='z') || (ch>='A'&&ch<='Z')));
	return ch;
	}
	/*
	* 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
	*/
	int MatrixUDG::firstVertex(int v)
	{
	int i;
	if (v<0 || v>(mVexNum-1))
	return -1;
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	if (mMatrix[v][i] == 1)
	return i;
	return -1;
	}
	/*
	* 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
	*/
	int MatrixUDG::nextVertex(int v, int w)
	{
	int i;
	if (v<0 || v>(mVexNum-1) || w<0 || w>(mVexNum-1))
	return -1;
	for (i = w + 1; i < mVexNum; i++)
	if (mMatrix[v][i] == 1)
	return i;
	return -1;
	}
	/*
	* 深度优先搜索遍历图的递归实现
	*/
	void MatrixUDG::DFS(int i, int *visited)
	{
	int w;
	visited[i] = 1;
	cout << mVexs[i] << " ";
	// 遍历该顶点的所有邻接顶点。若是没有访问过，那么继续往下走
	for (w = firstVertex(i); w >= 0; w = nextVertex(i, w))
	{
	if (!visited[w])
	DFS(w, visited);
	}
	}
	/*
	* 深度优先搜索遍历图
	*/
	void MatrixUDG::DFS()
	{
	int i;
	int visited[MAX];       // 顶点访问标记
	// 初始化所有顶点都没有被访问
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	visited[i] = 0;
	cout << "DFS: ";
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	{
	//printf("\n== LOOP(%d)\n", i);
	if (!visited[i])
	DFS(i, visited);
	}
	cout << endl;
	}
	/*
	* 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
	*/
	void MatrixUDG::BFS()
	{
	int head = 0;
	int rear = 0;
	int queue[MAX];     // 辅组队列
	int visited[MAX];   // 顶点访问标记
	int i, j, k;
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	visited[i] = 0;
	cout << "BFS: ";
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	{
	if (!visited[i])
	{
	visited[i] = 1;
	cout << mVexs[i] << " ";
	queue[rear++] = i;  // 入队列
	}
	while (head != rear)
	{
	j = queue[head++];  // 出队列
	for (k = firstVertex(j); k >= 0; k = nextVertex(j, k)) //k是为访问的邻接顶点
	{
	if (!visited[k])
	{
	visited[k] = 1;
	cout << mVexs[k] << " ";
	queue[rear++] = k;
	}
	}
	}
	}
	cout << endl;
	}
	/*
	* 打印矩阵队列图
	*/
	void MatrixUDG::print()
	{
	int i,j;
	cout << "Martix Graph:" << endl;
	for (i = 0; i < mVexNum; i++)
	{
	for (j = 0; j < mVexNum; j++)
	cout << mMatrix[i][j] << " ";
	cout << endl;
	}
	}
	int main()
	{
	char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
	char edges[][2] = {
	{'A', 'C'},
	{'A', 'D'},
	{'A', 'F'},
	{'B', 'C'},
	{'C', 'D'},
	{'E', 'G'},
	{'F', 'G'}};
	int vlen = sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);
	int elen = sizeof(edges)/sizeof(edges[0]);
	MatrixUDG* pG;
	// 自定义"图"(输入矩阵队列)
	//pG = new MatrixUDG();
	// 采用已有的"图"
	pG = new MatrixUDG(vexs, vlen, edges, elen);
	pG->print();   // 打印图
	pG->DFS();     // 深度优先遍历
	pG->BFS();     // 广度优先遍历
	return 0;
	}