Data Structure
Table of contents
Algorithm
- 时间复杂度 T(n) = O(f(n))
- 分析算法的复杂度，关键是要分析循环结构的运行情况;
- 推到大O阶：
1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数;
得到的结果就是大O阶。
- 分类：
1. 常数阶：O(1)，1代表常数
2. 线性阶：O(n)
3. 对数阶：O(log2n)
4. 平方阶：O(n2)
- 循环时间复杂度=循环体复杂度×循环运行次数；
- 常见的时间复杂度所耗费时间排序：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
- 运行时间是最坏情况的运行时间
- 平均时间复杂度：计算所有情况的平均值
- 空间复杂度
- 计算算法所需的存储空间 S(n)=O(f(n));f为n所占存储空间的函数
- 原地工作：所需空间相对于输入数据的比是常数
Linked List
基本概念
- 线性表：0个或多个数据元素的有限****序列
- 元素线性排列，除首末，都有前驱和后继；
- 长度：元素个数；n=0为空表
- 抽象数据类型的方法
- 操作表
- 初始化，建立空表
- 清空表
- 表属性
3. 判断表是否为空，返回true/false
4. 返回元素个数
- 定位元素（值或位置）
5. 返回第i个位置的值
6. 定位与给定值相等的元素；返回序号，0为失败
- 更新元素
7. 在第i个位置插入新元素
8. 删除第i个位置的元素，并返回其值
* 线性表的长度小于等于数组长度
* 地址计算
LOC(a~i~)=LOC(a~1~) + (i-1)*c (单个元素的存储单元数)：存储时间性能为O(1):每个位置存储时间相同
* 存取数据时间复杂度O(1)；插入和删除时间复杂度为O(n):适合元素个数不太变化的存取数据应用
1. 优点
1. 无需为元素逻辑关系额外增加存储空间
2. 可快速存取元素
2. 缺点
1. 插入和删除要移动大量元素
2. 当长度变化较大时，难以确定存储空间容量
3. 易造成空间“碎片”
链式存储
* 存储单元可以不连续
* 需要额外存储后继元素的存储地址
* 结点：数据域+指针域（指针或链）
* 头结点：数据域可存储长度信息；指针域指向第一个结点（头指针）；冠以链表的名字；非必须
单链表：
- 数据域 + 每个结点只包含一个指针域
- 对于插入和删除数据越频繁的操作，单链表的效率优势越明显
| 操作类型 | 时间性能 | 空间性能 |
| ---------- | ------------ | ---------------------- |
| 查找 | 顺序结构O(1) | 需预分配空间，不好掌握 |
| 查找 | 单链表O(n) | 有元素再分配，无限制 |
| 插入和删除 | 顺序结构O(n) |
| 插入和删除 | 单链表O(1) |
静态链表
- 概念：用数组描述的链表，游标实现法
- 元素：data域+cur域（存储指向元素的下标）
- 备用链表：未被使用的数组元素a[bi],数组空位
- 特点：
- 数组a[0].cur --> b1（第一个空元素a[b1]的下标）；相当于单链表的头结点
- 数组a[n-1].cur --> v1(第一个有值元素a[v1]的下标)
- 当静态链表为空时，a[n-1].cur=0
- 优点
* 插入和删除时，只需修改游标，不需移动元素
- 缺点
* 没有解决连续存储分配带来的表长难以确定的问题
* 失去了顺序存储结构随机存取的特性
- 目的：给没有指针的语言以实现单链表的方法
循环链表
- 将单链表中终结点的指针指向头结点；
- 目的：从当中结点出发，访问链表的全部结点
- 头指针：使空链表和非空链表处理一致二增加的表头，不存储数据
- 尾指针：指向终点结点；rear.next.next即为开始结点，跳过头指针；方便快速查询开始和结尾两个结点；
双向链表
- 在单链表的结点中，增加指向前驱结点的指针域
- 也有带头指针的循环链表
- 目的：便于往前遍历元素；用空间换时间，便于对某个结点的前后结点操作
Stack Queue
栈：LIFO
- 限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表；后进先出，LIFO结构
- 栈顶：允许插入和删除的一端；
栈底：另一端
空栈：不含任何元素的栈
进栈/压栈/入栈Push：插入操作
出栈/弹栈Pop：删除操作
- 栈方法：
- InitStack(*S):初始化 ，建立一个空栈S
- DestroyStack(*S):若栈存在则销毁
- ClearStack(*S):清空栈
- StackEmpty(S):若栈为空返回true；反之
- GetTop(*S,e):若栈存在且非空，用e返回S的栈顶元素
- Push(*S,e):若栈S存在，插入新元素e到栈S中并成为栈顶元素
- Pop(S,e)：删除栈S中栈顶元素，并用e返回其值
- StackLength(S):返回栈的元素个数
- 顺序存储栈：顺序栈
- 空栈时top置为-1；top必须小于stacksize;
- 数组末尾为栈顶，进出栈时间复杂度均为O(1);
- 两栈共享空间：
- 前提：数据类型一致；
- 应用情况：此消彼长的两个栈
- 逻辑：左栈底为数组始端，下标为0；右栈底为数组末端，下标为n-1;进出栈时，多加一个参数，指定栈号；
- 判断两栈全满：top1 + 1 = top2
- 链式存储结构：链栈
- 单链表中，栈顶指针top指向头部第一个元素；不要头指针；
- 空栈：top指向NULL
- 进出栈时间复杂度均为O(1)；
- 与顺序栈对比：
- 顺序栈需提前确定存储空间大小，可能会浪费；但存取时定位方便；
- 链栈长度无限制，但增加指针，增加了开销
- 应用：如果元素变化大，用链栈；
- 栈的作用：对先进先出应用场景的封装
- 递归：类似两面镜子里的自己；
- 斐波那契递归：第n项等于第n-1和n-2项的和；
- 递归函数定义：直接或间接调用自己函数的函数
- 递归条件：满足条件时，递归不再引用自己而退出
- 抽象：存储某些数据，再以存储的逆序恢复这些数据供后续使用；所以编译器使用栈实现递归
- 应用
后缀（逆波兰）表示法定义，数学表达式的求值
- 后缀表达式：符号在运算数字后面出现
- 规则：由左至右遍历表达式；遇到数组就进栈，遇到符号就让栈顶的两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈；直到获得最终结果；
- 后缀表达式的推到：
- 符号在中间的表达式为中缀表达式；
- 规则：由左至右遍历中缀表达式；遇到数字就输出为后缀表达式；若是左括号直接进栈，直到遇到右括号则输出两个最近括号之间的运算符；若是运算符，则判断其与栈顶符号的优先级；优先级（乘除优先于加减）低于栈顶运算符，则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈；直到最终输出为止；
队列：FIFO
- 概念
只允许在队尾进行插入操作（进），只允许在队头进行删除操作（出）的线性表
- 方法类似栈
- 循环队列
- 概念：把队列头尾相接的顺序存储结构
- 目的：解决假溢出（尾部下标溢出，头部却还有空位置）
- 规则：
- 当数组只有1个空元素时判断为满（不让头尾指针相等）
- 判断满的算法：(rear+1)%QueueSize == front
- 计算队列长度公式：(rear-front+QueueSize)%QueueSize
- 空队列判断：rear == front
- 缺点：
- 顺序结构时间性能不高，涉及元素移位
- 循环结构数组长度固定，容易满（溢出）
- 链式存储结构
- 链队列：只能尾进头出的线性表的单链表
- front指向头结点（无数据）；rear指向队尾结点
- 空队列：front = rear --> 头结点
- 与循环队列比较：
- 循环队列长度固定，空间有时浪费
- 链队列长度不限，动态申请和释放结点存在时间开销；额外的指针域存在空间开销
- 队列长度确定用循环队列；反之
String
- 概念：由0个或多个字符组成的有限序列，即字符串
- 序列：串的相邻字符之间有前驱和后继的关系
- 空串：null string;即""；
- 空格串：只包含空格的串，有长度的
- 子串位置：子串第一个字符在主串中的序号
- 串的比较
- 抽象类型
- 方法
- 抽象方法：
- 主串操作：创建、拷贝、清空、判断空、求长度
- 子串操作：对比、联接、求截断、子串定位、用子串替换、插入子串、删除子串
- 高级语言扩展方法
- 存储结构
- 顺序存储：类似于线性表，长度一般固定（堆可动态分配）
- 链式存储：连接串和串操作方便点，性能不如顺序结构
- 串的模式匹配
- 指子串的定位操作
- 朴素匹配算法：逐个字符比较，效率低 O((n-m+1)*m)
- KMP模式匹配：
- 去掉了主串回溯，复杂度为O(n+m)；
- 适用于两串存在许多部分匹配的情况，效率会好些
- KMP改进算法
Tree
- 概念
0个以上结点的有限集。0个结点为空树。
- 特点
- 有且仅有一个特定根结点
- 其余结点可分为m>0个互不相交的有限集，其本身是一棵树，成为根的子树
- 结点分类
- 结点的度Degree：结点拥有的子树数
- 叶结点Leaf/终端结点：度=0；
- 非终端结点/分支结点（内部结点）：度!=0
- 树的度=树内各结点的度的最大值
- 结点间的关系
- 结点的孩子（Child）：结点子树的根
- 孩子的双亲（Parent）：孩子的上级结点（父母同体）
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点
- 兄弟（Sibling）:同一个双亲的孩子之间互称
- 结点的子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都为该结点的子孙
- 特点：
- 根结点：无双亲，唯一
- 叶结点：无孩子，可多个
- 中间结点：一个双亲多个孩子
- 其他概念
- 层次level：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层
- 树的深度Depth/高度:最大层次
- 有序树：将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的；否则为无序的
- 森林Forest：m>=0颗互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林
- 抽象类型
- 树中结点有相同的数据类型及层次关系
- 方法：
- 构造/销毁树；
- 创建/清空树；
- 判断空/求深度/求根结点
- 返回/设置结点值
- 求双亲/最左孩子/右兄弟
- 插入/删除子树
- 存储结构
- 双亲表示法：数据域+指针域（双亲在数组中的下标）
- 根结点指针域：置为-1
- 增加长子域：用于快速找到孩子结点；无孩子指针设为-1
- 增加右兄弟域：关注各兄弟之间的关系；无兄弟指针设为-1
- 孩子表示法
- 多重链表表示法：每个结点有多个指针域，每个指针域指向一棵树的根结点；子树数不定，所以指针域个数不固定
- 指针域不固定的解决办法
- 指针域的个数 = 树的度；各结点的度相差较大时浪费空间
- 指针域的个数 = 该结点的度；取专门位置存储该结点的指针域个数：运算上有时间损耗
- 孩子表示法
- 把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表存储；则n个结点有n个孩子链表；
- 叶子结点单链表为空；
- n个头指针组成一个线性表，用顺序结构存储，一维数组
- 双亲孩子表示法：在孩子表示法基础上，表头结点中增加parent指针存储双亲结点所在的下标；方便找双亲结点
- 孩子兄弟表示法
- 结点的第1个孩子和右兄弟如果存在，一定是唯一的；
- 结点采用两个指针域，指向左孩子和右兄弟的下标
- 缺点：找双亲费劲；需增加双亲指针
- 优点：分解为二叉树
Binary Tree 二叉树
- 概念
n>=0个结点的有限集合；空树为空集；非空树由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成（一对多）
- 特殊二叉树
- 斜树：所有结点只有左子树或只有右子树；
- 特点：每一层只有一个结点，结点个数与二叉树的深度相同
- 满二叉树：所有分支结点都有左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上
- 特点：
- 叶子只能出现在最下层
- 非叶子结点的度为2
- 同样深度的二叉树，满二叉树结点数最多，叶子数最多
- 完全二叉树：按层序编号，所有结点位置与满二叉树对应编号的结点位置相同；简言之，满二叉树中层序编号在完全二叉树中不能断；
- 特点
- 同样结点数的二叉树，完全二叉树深度最小
- 叶子结点只能出现在最下面两层
- 最下层叶子一定集中在左部连续位置
- 倒数第二层若有叶子结点，一定在右部连续位置
- 二叉树的性质
- 第i层上至多有2i-1个结点
- 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点
- 终端结点数 = 度为2的结点数 + 1
- n结点的完全二叉树的深度为|log2n|+1(|x|表不大于X的整数)
- 对层序编号i，
- 若i>1,双亲是结点|i/2|;
- 若2i>n,结点i无左孩子,为叶子结点，否则左孩子是结点2i
- 若2i+1>n,结点i无右孩子，否则右孩子是结点2i+1
- 存储结构
- 顺序存储结构：只用于完全二叉树
- 二叉链表：1个数据域+2个指针域（左孩子和右孩子）
- 三叉链表：增加双亲的指针域
- 遍历二叉树
- 从根结点出发，按某种次序访问所有结点，只访问1次且不重复
- 思路
- 前序遍历：若二叉树为空，则空操作返回；否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树
- 中序遍历：若二叉树为空，则空操作返回；否则先从根结点开始，中序遍历根结点左子树，然后访问根结点，再中序遍历右子树。
- 后序遍历：若二叉树为空，则空操作返回；否则从左到右，先叶子后结点的方式遍历访问左右子树；最后访问根结点。
- 层序遍历：若二叉树为空，则空操作返回；否则从树的第1层，即根结点开始访问；从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左至右的顺序对结点逐个访问
- 遍历性质
- 已知前序和中序遍历，可以唯一确定二叉树
- 已知后续和中序遍历，同上
- 二叉树的建立
- 扩展二叉树：将二叉树每个结点的空指针引出虚结点，赋值为特定符号，如#;再遍历扩展二叉树；
- 建立：同上述遍历思路，运用递归，把访问改成写入；
- 线索二叉树
- 线索：指向前驱和后继的指针
- 线索链表：加上线索的二叉链表；
- 线索二叉树(Threaded Binary Tree)：线索链表对应的二叉树
- 线索化：对二叉树以某种次序遍历使其成为线索二叉树；实质是将二叉链表中的空指针改为指向前驱或后继的线索；在遍历过程中修改空指针
- 左右标志域：存布尔值0/1；
- 作用：区分左右指针的类型：是左、右孩子还是前驱、后继
-
- 添加头结点：等同于操作双向链表；时间复杂度为O(n)
-
- 适用于频繁遍历或查找时需要某种遍历中的前驱和后继的情况
- 树、森林和二叉树的转换
- 树转换为二叉树
- 在所有兄弟结点间加一条线
- 对每个结点，只保留长子连线，去掉其他孩子连线
- 层次调整，按层展示
- 森林转换为二叉树
- 森林由若干树组成，可理解为每棵树为兄弟
- 步骤：
- 把每棵树转换为二叉树
- 第一颗二叉树不动，从第2棵开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子，用线连起来；
- 二叉树转换为树（1的反向）
- 加线。若某结点的左孩子存在，则将该左孩子的n个右孩子结点都作为此结点的孩子，用线连接起来
- 去线。删除二叉树中所有结点与其右孩子的连线
- 层次调整。
- 二叉树转换为森林
- 判断二叉树能够转换成树还是森林：看这课二叉树根结点有没有右孩子；有就是森林，没有就是树
- 步骤
- 从根结点开始，若右孩子存在，则删除与右孩子的连线；依次删除剩下二叉树的右孩子连线；
- 再将分离后的二叉树转换为树即可
- 树与森林的遍历
- 树的遍历
- 先根遍历：即先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每颗子树
- 后根遍历：先依次后根遍历每颗子树，然后访问根结点
- 森林的遍历
- 前序遍历：先访问森林中第1棵树的根结点，然后再依次先根遍历根的每颗子树，在依次同样遍历剩下树的构成的森林；
- 后序遍历：先访问森林的第1棵树，后根遍历的方式遍历每颗子树，然后再访问根结点；再依次同样遍历剩下的森林
- 赫夫曼树
- 赫夫曼树
- 涉及概念
- 路径长度：两个结点间的路径上的分支数目（连线数目）
- 树的路径长度 = 从树根到每个结点的路径长度之和
- 结点的带权路径长度 = 结点到树根的路径长度 * 结点权重
- 树的带权路径长度 = 所有叶子结点的带权路径长度之和
- 赫夫曼树： 带权路径长度WPL最小的二叉树
- 构造方法
- 先把有权值的叶子结点按照从小到大的顺序排成序列；
- 取头两个最小权值的结点作为新结点N1的子结点，小的为左孩子，大的为右孩子；N1结点的权值为两个叶子结点权值的和；
- 将N1替换前两个较小结点，插入序列中，从小到大排序；
- 重复步骤2 ，直到完成构造树
- 赫夫曼编码
- 前缀编码：任一字符的编码都不是另一个字符编码的前缀；长度不等；
- 解码：依赖赫夫曼树
- 方法：
- 要编码的字符集为{d1,d2,d3...dn},各字符在电文中出现的频率集合为{w1,w2...wn},以d1...dn为叶子结点，以w1...wn为对应权值来构造赫夫曼树；
- 规定赫夫曼树左分支代表0，有分支代表1；
- 则从根结点到叶子结点所经过路径分支组成的0和1的序列即为该结点对应字符的编码
Graph
- 概念：多对多
- 图G由顶点的有穷非空集合V和顶点之间边的集合E组成，G(V,E)
- 不允许没有顶点Vertex（元素/结点）
- 顶点之间的逻辑关系用边来表示
- 各种图定义
- 无向图
- 无向边Edge:没有方向的边；用无序偶对（Vi,Vj）表示
- 无向图Undirected graphs:图中所有边都是无向边
- 无向完全图：无向图中，任意两个顶点之间都有边；
- 有向图
- 有向边/弧Arc:边有方向；用有序偶对<Vi,Vj>表示
- 有向图Directed graphs:所有边都是有向边的图
- 弧<A,B>:从A指向B，A是弧尾，B是弧头；
- 有向完全图
- 有向图中，任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧
- 简单图：不存在顶点到自身的边，且边不重复出现；n*(n-1)条边
- 稀疏图/稠密图：边/弧较少/多；
- 网Network：边带权Weight的图
- 子图Subgraph:顶点和边都为父图的子集
- 顶点和边的关系
- 无向图
- 领节点Adjacent:某边(v,v')是图边的子集；边与两个顶点相关联；
- 顶点v的度Degree:与v相关联的边的数目，记为TD(v)
- 边数是顶点度总和的一半
- 生成树：连通且n个顶点n-1条边
- 有向图
- 图中的弧<v,v'>：v邻接到v';v'邻接自v；互相关联
- 入度InDegree:以v为头的弧的数目,记为ID(v)
- 出度OutDegree:以v为尾的弧的数目,记为OD(v)
- TD(v) = ID(v) + OD(v)
- 弧数 = 入度和 = 出度和
- 有向树：一顶点为0，其余顶点入度为1
- 有向图的生成森林：由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧
- 路径Path
- 顶点序列，序列中任一点和下一点相邻
- 路径长度：路径上的边/弧的数目
- 简单路径：路径序列中顶点不重复出现
- 回路/环Cycle:第一个和最后一个顶点相同的路径；
- 简单回路/简单环：除首末顶点，其余顶点不重复的回路
- 连通图 Connected Graph
- 对于无向图：
- 连通的：两个顶点间有路径
- 连通图：任意两个顶点都是连通的
- 连通分量：无向图中的极大顶点数的连通子图
- 对于有向图：
- 强连通图：两个顶点双向都有路径
- 强连通分量：极大强连通子图
- 连通图的生成树：是极小的连通子图，含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边
- 抽象数据类型
- 方法
- 构造/销毁
- 定位顶点，返回/设置顶点值，返回邻接顶点，返回下个顶点
- 增加/删除顶点/弧
- 深度/广度优先遍历
- 存储结构
- 邻接矩阵Adjacency Matrix
- 一个一维数组存储顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息；
- 邻接矩阵为n*n方阵，若边/弧属于图，则方阵值为1，反之为0；
- 无向图:
- 边数组为对称矩阵，即aij=aji
- 顶点的度 = 第i行/列的元素的和
- 邻接顶点：第i行中元素为1对应的列号即为邻接顶点，即aij=1；
- 有向图
- 边数组为非对称矩阵
- 入度 = 第i列元素的和
- 出度 = 第i行元素的和
- 是否存在弧：同无向图
- 网图
- 邻接矩阵为n*n方阵，若边/弧属于图，则方阵值为权重值；若边i=j,则方阵值为0；若边/弧不属于图，方阵值为大于所有权重值的不可能的值（代表不存在）
- 邻接矩阵初始化复杂度 O(n^2)
- 邻接表
- 数组和链表结合的存储方法
- 目的：适用于稀疏图，节省空间
- 处理方法：
- 顶点用一维数组存储，数据域+指针域-->第1个邻接点的指针
- 顶点的所有邻接点构成线性表，用单链表存储
- 无向图即为顶点的边表：邻接点adjvex在顶点表中的下标+next边表中下个结点的指针
- 有向图称为顶点的弧尾的出边表：邻接表以顶点为弧尾来存储；可增加逆邻接表，建立以顶点为弧头的表
- 网图：在边表结点中增加weight数据域
- 十字链表Orthogonal List
- 顶点表：数据域+入边表头指针+出边表头指针
- 边表：弧起点的下标+弧终点下标+入边表指针域+出边表指针域
- 入边表指针域-->终点相同的下一条边；出边表指针域-->起点相同的下一条边；对网图，可增加权重域；
- 优点：结合邻接表和逆邻接表，方便查询顶点的弧尾和弧头；创建图的时间复杂度与理解表相同。优化有向图
- 邻接多重表
- 目的：优化无向图对边的操作
- 边表结点结构：某边依附的两个顶点下标+分别指向依附对应两个顶点的下一条边；顶点下标+指针+顶点下标+指针
- 边集数组
- 两个一维数组组成；一个存顶点，一个存边信息；
- 边数组元素：起点下标+终点下标+权
- 应用：对边依次进行处理的操作，不适合对顶点的操作
- 图的遍历 Traversing Graph
从某顶点出发遍历其他顶点，不重复
1. 深度优先搜索 Depth-First_Search DFS:递归过程，相当于树的前序遍历；对于非连通图：对所有连通分量进行DFS；对于有向图，算法可通用；
2. 广度优先遍历 Breadth_First_Search BFS
* 类似于层序遍历，按层先进先出队列，逐层遍历
* 适用于：不断扩大遍历范围以找到相对最优解
- 最小生成树 Minimum Cost Spanning Tree
- 概念：构造连通网的最小代价生成树
- 算法：
- 普利姆Prim算法
- 算法步骤：从顶点u0开始，找到代价最小的边（顶点为ui）并入最小生成树的边集合，同时将该对应顶点并入u0所在的顶点集合，直至顶点集合包含所有顶点。
- 时间复杂度为O(n2)
- 简述：进门找一点，按最近邻点走下一步，直至出口；
- 克鲁斯卡尔Kruskal算法
- 应用边集数组：数组元素有起始下标、终点下标、权
- 算法步骤
- 初始状态为n个顶点0条边的非连通图E，每个顶点自成一个连通分量
- 在E中选择代价最小的边，若该变依附的顶点落在E中不同的连通分量上，则将此边加入E，否则舍去选下一条代价最小的边；
- 直到所有的顶点都在同一连通分量上。
- 最短路径
3. 对于网图，最短路径指两定点间经过的边上权值和最少的路径
4. 对于非网图，最短路径指权值都为1时，权值和最少；即边数最少
5. 起点叫源点，最后一个点叫终点
6. 算法：
- 迪杰斯特拉Dijkastra算法：按路径长度递增的次序产生最短路径：每增加一个顶点，计算最短路径；然后计算下一条边；
- 时间复杂度为O(n^3)
- 适用：某顶点到所有顶点的最小路径，对有向图也适用
- 弗洛伊德Floyd算法：
- 结构：邻接矩阵+对应顶点的最小路径的前驱矩阵
- vw的权重 = min(vni,niw)
- 前驱矩阵下标 = 权小的边对应的起点下标
- 时间复杂度为O(n^3)
- 适用：所有顶点到所有顶点的最小路径，对有向图也适用
- 拓扑排序：解决一个工程能否顺利进行的问题
- 无环的图应用
- 顶点表示某活动的网 AOV网 Activity On Vertex Network:表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先/制约关系；
- 特点：
- 弧表示活动之间的制约关系
- 不存在回路（活动完成不是活动开始的前提条件，制约条件不成立）
- 定义：n个顶点的有向图中，若i,j之间有路径，则顶点序列中i必在j之前。则成为拓扑序列；
- 拓扑排序：对有向图构造拓扑序列的过程;若全部顶点都输出，则说明没有回路，为AOV网；若输出顶点少了，则说明有环路，不是AOV；
- 拓扑排序算法
- 基本思路：从AOV网中选择入度为0的顶点输出；删除此顶点及其弧；重复此步骤直至输出全部顶点或不存在入度为0的顶点为止；
- 数据结构：邻接表，增加入度值域，即入度+顶点值+边指针；
- 时间复杂度为O(n+e)
- 关键路径：工程完成需要的最短时间问题
- AOE: Activity On Edge Network;在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网叫AOE网
- 始点/源点：没有入边的顶点；终点/汇点：没有出边的顶点
- 前提：活动之间制约关系没有矛盾
- 路径长度：各个活动持续的时间之和
- 关键路径：从源点到汇点具有最大长度的路径；在关键路径上的活动叫关键活动；缩短关键路径上的长度才能缩短整体工期；
- 关键路径算法思路：
- 事件的最早发生时间etv:earliest time of vertex:顶点vk的最早发生时间；
- 事件的最晚发生时间ltv:latest time of vertex:顶点vk的最早发生时间；超过此时间就会延误工期；
- 活动的最早开工时间ete:earliest time of edge:弧ak的最早发生时间
- 活动的最晚开工时间lte:latest time of edge:弧ak的最晚发生时间；不推迟工期的最晚开工时间
- 利用1、2可求得3、4；再比较ete[k] == lte[k]?来判断ak是否是关键活动；
- 算法
- 数据结构：邻接表+弧链表（增加权域，存放弧的权值）
- 时间复杂度为O(n+e)
- 深入学习***
Searching
- 查找概论
- 查找表
- 关键码（字段）：关键字key(键值,数据项)
- 主关键码:主关键字Primary key（数据项）；次关键码：次关键字
- 类型：
- 静态查找表Static Search Table:只查找
- 动态查找表Dynamic - -:删除或插入
- 对应的数据结构 -- 查找结构
- 顺序查找 sequential search
- 概念：线性查找：从头到尾逐一对比
- 顺序表查找优化：设置哨兵，用while循环；复杂度为O(n)
- 有序表查找
- 折半查找binary search(二分查找)：每次取中间记录查找；
- 前提：关键码有序，顺序存储
- 分成两个子树，查找其中一颗，提高效率O(logn)
- 对频繁变动的表不建议用，维护有序比较麻烦
- 插值查找
- 插值计算公式：根据查找值在有序列中的位置估算最近的下标，从下标开始重复
- 对元素大小极度分布不均的比较困难
- 斐波那契查找 Fibonacci Search
- 利用黄金分割原理
- F[k] = F[k-1] + F[k-2]来分割
- 线性索引查找
- 索引：把关键字和对应的记录相关联
- 分类：线性、树形、多级索引
- 线性索引：线性结构，即索引表--> 稠密、分块、倒排索引
- 稠密索引：一一对应，存储关键码要有序，便于插值索引；大数据不适用
- 分块索引：
- 块间有序，块内可无序；
- 每块对应一个索引项；索引项结构包括：最大关键码、块内项个数、块首指针
- 适用于细分快无需有序的情况
- 倒排索引
- 索引项：次关键码+记录号表
- 记录号表-->相同次关键字的多有记录的记录号
- 本质：根据属性值来确定记录的位置
- 优点：查找记录快；缺点：记录号不定长
- 二叉排序树
- 动态查找表：需要在查找时插入和删除的查找表
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