P10496 The Luckiest Number 题解

Part1.自己一开始是怎么想的

基本上没有思路。

Part2.正解是怎样的

\(L~|~ 8\cdot\frac{10^x-1}{9}\)

\(L\cdot 9~|~8\cdot(10^x-1)\)

\(d=\gcd(L,8)\)

\(\frac{L\cdot 9}{d}~|~\frac{8}{d}\cdot(10^x-1)\)

\(\frac{L\cdot 9}{d}~|~(10^x-1)\)

\(10^x\equiv 1(\mod\frac{L\cdot 9}{d})\)

下面证明一个结论：
使 \(a^x\equiv1(\mod p)\) 成立(前提是 \(\gcd(a,p)=1\))的最小的 \(x\)，\(x_0\) 是 \(\varphi(p)\) 的约数。

欧拉定理：\(a^{\varphi(n)}\equiv 1(\mod n)\)。设 \(\varphi(n)=q\cdot x_0+r(0<r<x_0)\)。因为 \(a^{x_0}\equiv1(\mod p)\) 所以 \(a^{q\cdot x_0}\equiv1(\mod p)\)，又根据上面的欧拉定理，所以 \(a^r\equiv1(\mod p)\)。上面刚说过 \(r\) 的取值范围，所以式子设的不成立，结论成立。

可以直接 \(O(\sqrt n)\) 枚举因数, log 排序。是对的。然后快速幂判断是否是对的那个即可。

Part3.差在哪里，如何解决？

第一步是一个很好的开始，可以积累。后面的推式子就要知道这个结论，不然也难以想到，要积累一下这个idea。

Part4.编码的困难、调出来的错误

没有。

Part5.收获有什么

这个证明的过程和证明的目的的清晰值得学习，这个结论也要积累。

Part6.时间主要花在哪里了

有点害怕，感觉证不出来，耗了很久的时间。