什么是交叉熵

什么是交叉熵

交叉熵是一个在ML领域经常会被提到的名词。在这篇文章里将对这个概念进行详细的分析。

1.什么是信息量？

假设\(x\)是一个离散型随机变量，其取值集合为\(X\)，概率分布函数为$p(x)=Pr(X=x), x \in X \(，我们定义事件的信息量为：\)X=x_0\(，可以理解为，一个事件发生的概率越大，则它所携带的信息量就越小，而当\)p(x_0)=1\(时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。举个例子，小明平时不爱学习，考试经常不及格，而小王是个勤奋学习的好学生，经常得满分，所以我们可以做如下假设： 事件A：小明考试及格，对应的概率\)P(x_A)=0.1\(，信息量为\)I(x_A)=−log(0.1)=3.3219\( 事件B：小王考试及格，对应的概率\)P(x_B)=0.999\(，信息量为\)I(x_B)=−log(0.999)=0.0014\( 可以看出，结果非常符合直观：小明及格的可能性很低(十次考试只有一次及格)，因此如果某次考试及格了（大家都会说：XXX竟然及格了！），必然会引入较大的信息量，对应的\)I\(值也较高。而对于小王而言，考试及格是大概率事件，在事件B发生前，大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的，因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量，相应的\)I$值也非常的低。

2.什么是熵？

那么什么又是熵呢？还是通过上边的例子来说明，假设小明的考试结果是一个0-1分布\(X_A\)只有两个取值{0：不及格，1：及格}，在某次考试结果公布前，小明的考试结果有多大的不确定度呢？你肯定会说：十有八九不及格！因为根据先验知识，小明及格的概率仅有0.1,90%的可能都是不及格的。怎么来度量这个不确定度？求期望！不错，我们对所有可能结果带来的额外信息量求取均值（期望），其结果不就能够衡量出小明考试成绩的不确定度了吗。
即：
\(H_A(x) = -[p(x_A)log(p(X_A))] + (1-p(x_A))log(1-p(x_A))]=0.4690\)
对应小王的熵：
\(H_B(x)=−[p(x_B)log(p(x_B))+(1−p(x_B))log(1−p(x_B))]=0.0114\)
虽然小明考试结果的不确定性较低，毕竟十次有9次都不及格，但是也比不上小王（1000次考试只有一次才可能不及格，结果相当的确定）
我们再假设一个成绩相对普通的学生小东，他及格的概率是\(P(x_C)=0.5\),即及格与否的概率是一样的，对应的熵：
\(H_C(x)=−[p(x_C)log(p(x_C))+(1−p(x_C))log(1−p(x_C))]=1\)
其熵为1，他的不确定性比前边两位同学要高很多，在成绩公布之前，很难准确猜测出他的考试结果。
可以看出，熵其实是信息量的期望值，它是一个随机变量的确定性的度量。熵越大，变量的取值越不确定，反之就越确定。

对于一个随机变量X而言，它的所有可能取值的信息量的期望\(（E[I(x)]\)就称为熵。
\(X\)的熵定义为：
\(H(X)=Ep \space log \frac 1 {p(x)}=−\sum \limits_{x \in X}p(x)logp(x)\)
如果\(p(x)\)是连续型随机变量的pdf，则熵定义为：
\(H(X)=−∫_{x∈X}p(x)logp(x)dx\)
为了保证有效性，这里约定当\(p(x)→0\)时,有\(p(x)logp(x)→0\)
当X为0-1分布时，熵与概率p的关系如下图：

可以看出，当两种取值的可能性相等时，不确定度最大（此时没有任何先验知识），这个结论可以推广到多种取值的情况。在图中也可以看出，当p=0或1时，熵为0，即此时X完全确定。
熵的单位随着公式中\(log\)运算的底数而变化，当底数为2时，单位为“比特”(bit)，底数为e时，单位为“奈特”。

3.什么是相对熵？

相对熵(relative entropy)又称为KL散度（Kullback-Leibler divergence），KL距离，是两个随机分布间距离的度量。记为\(D_{KL}(p||q)\)。它度量当真实分布为p时，假设分布\(q\)的无效性。

\[\begin{split} \\ D_{KL}(p||q) &= Ep[log \frac {p(x)} {q(x)}] \\ &=\sum _{x∈X} p(x) log \frac {p(x)} {q(x)} \\ &=\sum _{x∈X}[p(x)logp(x)−p(x)logq(x)] \\ &=\sum_{x∈X}p(x)logp(x)−\sum _{x∈X}p(x)logq(x) \\ &=−H(p)−\sum _{x∈X} p(x)logq(x) \\ &=−H(p)+Ep[−logq(x)] \\ &=Hp(q)−H(p)\end{split}\]

并且为了保证连续性，做如下约定：

\[0log \frac 0 0=0，0log \frac 0 q=0，plog \frac p 0=∞ \]

显然，当\(p=q\)时,两者之间的相对熵\(D_{KL}(p||q)=0\)
上式最后的\(H_p(q)\))表示在p分布下，使用q进行编码需要的bit数，而\(H(p)\)表示对真实分布p所需要的最小编码bit数。基于此，相对熵的意义就很明确了：\(D_{KL}(p||q)\))表示在实分布为\(p\)的前提下，使用q分布进行编码相对于使用真实分布p进行编码（即最优编码）所多出来的bit数。

4. 什么是交叉熵？

交叉熵容易跟相对熵搞混，二者联系紧密，但又有所区别。假设有两个分布\(p，q\)则它们在给定样本集上的交叉熵定义如下：

\[CEH(p,q)=Ep[−logq]=−∑\limits_{x∈X}p(x)logq(x)=H(p)+D_{KL}(p||q) \]

可以看出，交叉熵与上一节定义的相对熵仅相差了\(H(p)\),当\(p\)已知时，可以把\(H(p)\)看做一个常数，此时交叉熵与KL距离在行为上是等价的，都反映了分布\(p，q\)的相似程度。最小化交叉熵等于最小化KL距离。它们都将在\(p=q\)时取得最小值\(H(p)\)（p=q时KL距离为0），因此有的工程文献中将最小化KL距离的方法称为Principle of Minimum Cross-Entropy (MCE)或Minxent方法。
特别的，在logistic regression中，
p:真实样本分布，服从参数为p的0-1分布，即\(X∼B(1,p)\)
q:待估计的模型，服从参数为q的0-1分布，即\(X∼B(1,q)\)
两者的交叉熵为：

\[\begin{split} CEH(p,q) &=−\sum _{x∈X}p(x)logq(x) \\ &=−[P_p(x=1)logP_q(x=1)+P_p(x=0)logP_q(x=0)] \\ &=−[plogq+(1−p)log(1−q)] \\ &=−[ylogh_θ(x)+(1−y)log(1−h_θ(x))] \\ \end{split}\]

对所有训练样本取均值得：

\[−\frac 1 m \sum \limits^{m} \limits _{i=1m} [y(i)logh_θ(x^{(i)})+(1−y^{(i)})log(1−h_θ(x^{(i)}))] \]

这个结果与通过最大似然估计方法求出来的结果一致。

转载出处:

• 交叉熵（Cross-Entropy）_rtygbwwwerr的博客-CSDN博客