线性映射

线性映射就是一个线性空间向量变成到另一个线性空间的向量的关系法则，比如将m维行空间转为n维列空间的\(Ax'\)就是一个线性映射，映射到本身称为线性变换。

知识点

1. 单射，满射

   1. 单射：指在空间\(V\)中任意向量\(\alpha\)在空间\(U\)有一一对应的向量
      单射的证明方法

      1. 直接用定义，若\(\phi(\alpha)= \phi(\beta)\) ,\(\alpha=\beta\)，则是单射
      2. \(ker\phi=0\)
      3. 表示矩阵列满秩

   2. 满射：指在空间\(U\)中任意向量\(\beta\)在空间\(V\)有一一对应的向量
      满射的证明方法

      1. 直接用定义
      2. \(Im\phi=U\)
      3. 表示矩阵行满秩

2. 线性映射的运算

3. 线性同构：如果线性映射是双射就是线性同构，线性变化的同构称为自同构。

   1. 线性同构的映射存在逆映射：\(\phi\phi^{-1}=I_V\)

   证明：\(\phi(\alpha)=u\)，因为是双射，必有\(\psi(u)=\alpha\)，则\(\phi\psi(u)=u\)，由于\(u\)任取，则\(\psi=\phi^{-1}\)

   2. 证明是线性同构：先证明是线性空间，再证明是双射；如果是同纬度的两个空间，只需证明单射或者满射

4. 线性映射和矩阵的关系

   1. 以向量坐标来看，线性映射可以表示维表示矩阵和目标基的相乘

5. 核和像：核是所有映射为0的原像构成的空间，像是所有原像的映射的空间

   1. 维度公式：\(dimV=dimKer\phi+dimIm\phi\)
   2. 两者和表示矩阵的关系：\(dimIm\phi=r(A)，dimKer\phi=n-r(A)\),其中A为\(\phi\)的表示矩阵，n是\(V\)的维度，注意和维度公式的区别
   3. 如果\(V\)的维度为n，如果\(Ker\phi\)的基为\(（e_1,e_2,e_3...e_i)\),则\(Im\phi\)的基为\((\phi(e_{i+1}),\phi(e_{i+2}),\phi(e_{i+3})...\phi(e_{n}))\)
   4. \(Im\phi\)的空间就是A的极大无关组张成的空间，\(Ker\phi\)的空间就是\(Ax=0\)的解空间