高精度除法

第五部分 高精度除法

高精度除法的基本问题如下：

问题描述：
已知两个数a，b，求两个数的商

数据输入： 700 35
数据输出： 20

数据范围： \(1\leq b,a\leq 10^{1000}\)

高精度除法是四种高精度中比较好理解，但不好写的算法，高精度除法总共有两种形式：
高精/低精；高精/高精

高精除以低精的难度比较简单，可以运用简单的除法进行。除法的方法相信大家很熟悉了，这里我们用表格呈现除法：

数组	0	1	2	3	4
a[]	0	0	7	0	0
b	35
c[]	0	0	0	0	0
余数	0

那么我们首先就是除法，在没讲高精度除以高精度前，现在就可以直接进行除法运算
倒序取出第一个数，将7加入余数中，用余数相除，除完之后发现有余数，接着就把余数加入当中，将这一位求得的商加入其中

数组	0	1	2	3	4
a[]	0	0	7	0	0
b			35
c[]	0	0	0	0	0
余数	7

接着是下一步，此时将余数进行保留之后，乘10，并加入下一位数，同样地用余数进行除法运算，此时的结果得到了这样子：

数组	0	1	2	3	4
a[]	0	0	7	0	0
b		35
c[]	0	2	0	0	0
余数	0

接着重复计算，就可以得到最后的结果了。

高精除以低精的除法的步骤就是一步一步相除，得到结果，没有任何的技巧，除法的核心代码如下（因为上文的存储是倒序的，所以这里也只能够写倒序的了，在写的时候可以正序写（不过得保证输入输出正序））：

int c[100], cn=0, y=0; //y存储余数
for (int i=an-1; i>0; i--){
	y=y*10+a[i];
    c[i]=y/b;
    y=y%b;
}

接着我们把其余的部分加入，最后的程序是这样的：

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <sstream>
using namespace std;
int main(void){
    string a,b; //a, b表示两个加数
    int bl;
    int al[10000]={0};
    cin>>a>>b;
    //输入段
    stringstream ss;
    ss<<b;
    ss>>bl;
    //这一段代码是将b数组直接从字符串转为整数
    int an=a.length(), bn=b.length();
    for (int i=0; i<an; i++){
        al[i]=a[an-i-1]-'0';
    }
    //存储段
    int c[10000]={0}, cn=an, y=0; //y存储余数
    for (int i=an-1; i>=0; i--){
        y=y*10+al[i];
        c[i]=y/bl;
        y=y%bl;
    }//除法段
    while (c[cn-1]==0&&cn!=1) cn--;
    for (int i=0; i<cn; i++){
        cout<<c[cn-i-1];
    }//输出段
    cout<<endl;
    cout<<y;
    //这里下方的输出是输出余数
    return 0;
}

接下来就是比较难操作的高精度除以高精度了
我们知道，除法的本质是减法，多次的减法就是除法
所以高精度除以高精度的本质方法就是减法：
通过一次次的相减，得到最后的结果

但是——
我一个数除以另一个数的商太大怎么办？
这样会超时的啊，
所以减法就得精简起来
那么怎么精简呢？——高精除以低精的重要性就在这里了
在高精除以低精中，我们是一位位往下除，
那减法，是不是也一位位往下减就可以了

那么高精除以高精的整个步骤如下：

1. 判断是否能够除
2. 除到不能除
3. 往上一位推

接下来我们来逐步剖析这三个部分：

第一部分就是判断能否除，
那这部分啊-其实很简单，只有一步，就是判断目前退位到的被除数是否比除数大（相等也行）
比较的程序就很简单了：
先判断位数，再从最高位开始比起，以此往下比，比到最后一位，如果相等，那么也可以作除法
代码如下：

int compare(int p){
    if (al[p+bn]>0) return 1; //这里判断的方法就是判断a[]中b总共位数的下一位是否有得除
    else{
        for (int i=bn-1; i>=0; i--){
            if (al[p+i]>bl[i]){
                return 1;
            }else if (al[p+i]<bl[i]){
                return 0;
            }
        }
    }
    return 1;
}

第二部分和第三部分本质上就是除法
高精除以低精的除法的程序我们按部就班，把中间的除法变成减法的程序然后再加上判断是否能除，然后余数的部分省略就好了：
代码如下：

for (int i=an-1; i>=0; i--){
    while (compare(i)){ //用while循环判断是否能够除
        c[i]++; //将c数组的值相加，存下减了几次（这个用不是人话来说就是商）
        for (int j=0; j<bn; j++){
            a[i+j]=a[i+j]-b[j];
        }for (int j=0; j<bn; j++){
            if (a[i+j]<0){
                a[i+j+1]--;
                a[i+j]+=10;
            }
        }
    }
}

剩下就是这几天打了很多遍的高精度输入-存储-输出代码，调整位数的代码需要使用减法优化。

接下来是完整代码：

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
string a, b; //a, b表示两个被减数与减数
int al[100]={0}, bl[100]={0};
int an, bn;
int compare(int p){
    if (al[p+bn]>0) return 1; //这里判断的方法就是判断a[]中b总共位数的下一位是否有得除
    else{
        for (int i=bn-1; i>=0; i--){
            if (al[p+i]>bl[i]){
                return 1;
            }else if (al[p+i]<bl[i]){
                return 0;
            }
        }
    }
    return 1;
}
int main(void){
	cin>>a>>b;
    an=a.length(), bn=b.length(); //获取a, b的长度
    //输入段
    
    for (int i=0; i<an; i++){
        al[i]=a[an-i-1]-'0';
    }for (int i=0; i<bn; i++){
        bl[i]=b[bn-i-1]-'0';
    }
    //存储段  
    int c[1000]={0}, cn=an;
    for (int i=an-1; i>=0; i--){
	    while (compare(i)){ //用while循环判断是否能够除
	        c[i]++; //将c数组的值相加，存下减了几次（这个用不是人话来说就是商）
	        for (int j=0; j<bn; j++){
	            al[i+j]=al[i+j]-bl[j];
	        }for (int j=0; j<bn; j++){
	            if (al[i+j]<0){
	                al[i+j+1]--;
	                al[i+j]+=10;
	            }
	        }
	    }
	}
    //进位段
    while (c[cn-1]==0&&cn!=1){
        cn--;
    }//调整段
    for (int i=0; i<cn; i++){
        cout<<c[cn-i-1];
    }//输出段
    return 0;
}