多项式全家桶

前置芝士：麦克拉伦展开，泰勒展开，牛顿迭代，快速傅里叶变换，标记（$mod x^n$）。

正片：

1.多项式加法。

2.多项式减法。

3.多项式乘法。

4.多项式求逆。

5.多项式带余除法。

6.多项式开根。

7.多项式对数函数。

8.多项式指数函数。

9.多项式的k次幂/k次方根

10.多项式插值

正片开始：

1.多项式加法：（略）

2.多项式减法：（略）

3.多项式乘法：（FFT即可）

4.多项式求逆：

传送门：

设原多项式为$H(x)$，所求为$F(x)(mod \; x^t)$

假设对于所求多项式$G(x)\equiv F(x)(mod \; x^n)$的$G(x)$已经得到，那么:

$G(x)H(x)\equiv 1(mod \; x^n)$

$G(x)H(x)-1\equiv 0(mod \; x^n)$

$[G(x)H(x)-1]^2\equiv 0(mod \; x^{2n})$

$G(x)^2H(x)^2-2G(x)H(x)+1\equiv 0(mod \; x^{2n})$

$G(x)H(x)[2-G(x)H(x)]\equiv 1(mod \; x^{2n})$

$\frac{1}{H(x)}\equiv G(x)[2-G(x)H(x)](mod \; x^{2n})$

$F(x)\equiv G(x)[2-G(x)H(x)](mod \; x^{2n})$

这样就可以倍增地得到F(x)，边界条件为常数项为原多项式常数项的逆元。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 typedef long long lnt;
 5 const lnt mod=998244353;
 6 lnt A[1000000];
 7 lnt B[1000000];
 8 lnt C[1000000];
 9 int pos[1000000];
10 int len;
11 int n;
12 lnt ksm(lnt a,lnt b)
13 {
14     lnt ans=1;
15     while(b)
16     {
17         if(b&1)ans=ans*a%mod;
18         a=a*a%mod;
19         b=b/2;
20     }
21     return ans;
22 }
23 void NTT(lnt *a,int flag)
24 {
25     for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
26     for(int i=2;i<=len;i<<=1)
27     {
28         lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
29         for(int j=0;j<len;j+=i)
30         {
31             lnt w=1,t;
32             for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
33             {
34                 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
35                 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
36                 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
37             }
38         }
39     }
40     if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
41     return ;
42 }
43 void INV(lnt *a,lnt *b,int lim)
44 {
45     if(lim==1)
46     {
47         b[0]=ksm(a[0],mod-2);
48         return ;
49     }
50     INV(a,b,lim-1);
51     len=1<<lim;
52     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
53     memcpy(C,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
54     NTT(C,1),NTT(b,1);
55     for(int i=0;i<len;i++)C[i]=b[i]*(2-C[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
56     NTT(C,-1);
57     lnt inv=ksm(len,mod-2);
58     for(int i=0;i<len>>1;i++)b[i]=C[i]*inv%mod;
59     memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
60     return ;
61 }
62 int main()
63 {
64     scanf("%d",&n);
65     int l=0;
66     while((1<<l)<(n<<1))l++;
67     for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&A[i]);
68     INV(A,B,l);
69     for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(B[i]%mod+mod)%mod);
70     puts("");
71     return 0;
72 }
多项式求逆

5.多项式带余除法：

传送门：

余项不容易搞定，那么就想办法将余项消掉。

构造一种巧妙的方法。

定义$A^R(x)$为$A(x)$的系数反转的多项式。

例如：$A(x)=x+2$,则$A^R(x)=2x+1$，

这样就可以将$R(x)$的系数转上去被余掉，考虑如下方法实现：

原多项式关系为$A(x)=B(x)C(x)+R(x)$，$A(x)$的最高次为$n$，$B(x)为$m$，$C(x)$为$n-m$,$R(x)$为$m-1$。

$A(x)=x^nA^R(\frac{1} {x})$

$x^nA^R(\frac{1} {x})=x^mB^R(\frac{1}{x})x^{n-m}C^R(\frac{1}{x})+x^{m-1}R^R(\frac{1}{x})x^{n-m+1}$

这时发现$C(x)$的次数为$n-m$所以整个式子在$mod \;x^{n-m+1}$下求出的$C(x)$是无损的。

而且正好将$R(x)$忽略了。就只需要多项式求逆解出$C^R(x)$反转系数得到$C(x)$，最后回代得到$R(x)$就好了。

代码：

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 typedef long long lnt;
  5 const lnt mod=998244353;
  6 lnt a[1000000];
  7 lnt b[1000000];
  8 lnt d[1000000];
  9 lnt r[1000000];
 10 lnt ar[1000000];
 11 lnt br[1000000];
 12 lnt ibr[1000000];
 13 lnt A[1000000];
 14 lnt B[1000000];
 15 int n,m;
 16 int len;
 17 int pos[1000000];
 18 lnt ksm(lnt a,lnt b)
 19 {
 20     lnt ans=1;
 21     while(b)
 22     {
 23         if(b&1)ans=ans*a%mod;
 24         a=a*a%mod;
 25         b=b/2;
 26     }
 27     return ans;
 28 }
 29 void NTT(lnt *a,int flag)
 30 {
 31     for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
 32     for(int i=2;i<=len;i<<=1)
 33     {
 34         lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
 35         for(int j=0;j<len;j+=i)
 36         {
 37             lnt w=1,t;
 38             for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
 39             {
 40                 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
 41                 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
 42                 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
 43             }
 44         }
 45     }
 46     if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
 47     return ;
 48 }
 49 void Get_inv(lnt *a_,lnt *b_,int lim)
 50 {
 51     if(lim==1)
 52     {
 53         b_[0]=ksm(a_[0],mod-2);
 54         return ;
 55     }
 56     Get_inv(a_,b_,lim-1);
 57     len=1<<lim;
 58     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
 59     memcpy(A,a_,sizeof(lnt)*(len>>1));
 60     NTT(A,1),NTT(b_,1);
 61     for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b_[i]*(2ll-A[i]*b_[i]%mod+mod)%mod;
 62     NTT(A,-1);
 63     lnt INV=ksm(len,mod-2);
 64     for(int i=0;i<len>>1;i++)b_[i]=A[i]*INV%mod;
 65     memset(b_+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
 66     return ;
 67 }
 68 int main()
 69 {
 70     scanf("%d%d",&n,&m);
 71     for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
 72     for(int i=0;i<=m;i++)scanf("%lld",&b[i]);
 73     std::reverse(a,a+n+1);memcpy(ar,a,sizeof(a));
 74     std::reverse(b,b+m+1);memcpy(br,b,sizeof(b));
 75     std::reverse(a,a+n+1);std::reverse(b,b+m+1);
 76     memset(br+n-m+1,0,sizeof(lnt)*m);
 77     memset(ar+n-m+1,0,sizeof(lnt)*m);
 78     int lim=0;
 79     while((1<<lim)<((n-m+1)<<1))lim++;
 80     Get_inv(br,ibr,lim);
 81     len=1<<lim;
 82     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
 83     NTT(ar,1);NTT(ibr,1);
 84     for(int i=0;i<len;i++)d[i]=ar[i]*ibr[i]%mod;
 85     NTT(d,-1);
 86     lnt INV=ksm(len,mod-2);
 87     for(int i=0;i<len;i++)d[i]=d[i]*INV%mod;
 88     std::reverse(d,d+n-m+1);
 89     for(int i=0;i<=n-m;i++)printf("%lld ",(d[i]%mod+mod)%mod);
 90     puts("");
 91     memset(d+n-m+1,0,sizeof(lnt)*n);
 92     lim=0;
 93     while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
 94     len=1<<lim;
 95     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
 96     NTT(d,1),NTT(a,1),NTT(b,1);
 97     for(int i=0;i<len;i++)r[i]=(a[i]-b[i]*d[i]%mod+mod)%mod;
 98     NTT(r,-1);INV=ksm(len,mod-2);
 99     for(int i=0;i<len;i++)r[i]=r[i]*INV%mod;
100     for(int i=0;i<m;i++)printf("%lld ",(r[i]%mod+mod)%mod);
101     puts("");
102     return 0;
103 }
多项式带余除法

 6.多项式开根

传送门：

这里先不介绍那个指对数混合的方法。

继续推式子：

假设已经知道了$F_0(x)^2\equiv G(x)(mod\;x^n)$

那么：$[F_0(x)^2-G(x)]^2\equiv0(mod\;x^{2n})$

$[F_0(x)^2+G(x)]^2\equiv 4G(x)F_0(x)^2(mod\;x^{2n})$

$[\frac{F_0(x)^2+G(x)}{2F_0(x)}]^2\equiv G(x)(mod\;x^{2n})$

所以：$\frac{F_0(x)^2+G(x)}{2F_0(x)}\equiv F(x)(mod\;x^{2n})$

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 typedef long long lnt;
 5 const lnt mod=998244353;
 6 lnt A[1000000];
 7 lnt B[1000000];
 8 lnt C[1000000];
 9 lnt f[1000000];
10 lnt g[1000000];
11 int n;
12 int len;
13 int pos[1000000];
14 lnt ksm(lnt a,lnt b)
15 {
16     lnt ans=1;
17     while(b)
18     {
19         if(b&1)ans=ans*a%mod;
20         a=a*a%mod;
21         b=b/2;
22     }
23     return ans;
24 }
25 void NTT(lnt *a,int flag)
26 {
27     for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
28     for(int i=2;i<=len;i<<=1)
29     {
30         lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
31         for(int j=0;j<len;j+=i)
32         {
33             lnt w=1,t;
34             for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
35             {
36                 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
37                 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
38                 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
39             }
40         }
41     }
42     if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
43     return ;
44 }
45 void Get_inv(lnt *a,lnt *b,int lim)
46 {
47     if(lim==1)
48     {
49         b[0]=1;
50         return ;
51     }
52     Get_inv(a,b,lim-1);
53     len=1<<lim;
54     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
55     memcpy(A,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
56     NTT(A,1),NTT(b,1);
57     for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b[i]*(2ll-A[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
58     NTT(A,-1);
59     lnt INV=ksm(len,mod-2);
60     for(int i=0;i<(len>>1);i++)b[i]=A[i]*INV%mod;
61     memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
62     return ;
63 }
64 void Get_sqrt(lnt *a,lnt *b,int lim)
65 {
66     if(lim==1)
67     {
68         b[0]=1;
69         return ;
70     }
71     Get_sqrt(a,b,lim-1);
72     memset(C,0,sizeof(lnt)*(1<<lim));
73     memset(B,0,sizeof(lnt)*(1<<lim));
74     memset(A,0,sizeof(lnt)*(1<<lim));
75     Get_inv(b,C,lim);
76     len=1<<lim;
77     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
78     memcpy(B,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
79     NTT(C,1);NTT(B,1);NTT(b,1);
80     lnt inv2=ksm(2,mod-2);
81     for(int i=0;i<len;i++)B[i]=inv2*((b[i]+B[i]*C[i]%mod)%mod)%mod;
82     NTT(B,-1);
83     lnt INV=ksm(len,mod-2);
84     for(int i=0;i<(len>>1);i++)b[i]=B[i]*INV%mod;
85     memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
86     return ;
87 }
88 int main()
89 {
90     scanf("%d",&n);
91     for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]),f[i]%=mod;
92     int lim=0;
93     while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
94     Get_sqrt(f,g,lim);
95     for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(g[i]%mod+mod)%mod);
96     puts("");
97     return 0;
98 }
多项式开根

7.多项式对数函数（ln）

传送门：

考虑$f(x)=ln(g(x))$

则$f'(x)=\frac{1}{g(x)}g'(x)$

多项式求逆即可。

代码：

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 typedef long long lnt;
  5 const lnt mod=998244353;
  6 lnt A[1000010];
  7 lnt B[1000010];
  8 lnt C[1000010];
  9 lnt f[1000010];
 10 int pos[1000000];
 11 int len;
 12 int n;
 13 lnt ksm(lnt a,lnt b)
 14 {
 15     lnt ans=1;
 16     while(b)
 17     {
 18         if(b&1)ans=ans*a%mod;
 19         a=a*a%mod;
 20         b=b/2;
 21     }
 22     return ans;
 23 }
 24 void NTT(lnt *a,int flag)
 25 {
 26     for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
 27     for(int i=2;i<=len;i<<=1)
 28     {
 29         lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
 30         for(int j=0;j<len;j+=i)
 31         {
 32             lnt w=1,t;
 33             for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
 34             {
 35                 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
 36                 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
 37                 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
 38             }
 39         }
 40     }
 41     if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
 42     return ;
 43 }
 44 void Get_inv(lnt *a,lnt *b,int lim)
 45 {
 46     if(lim==1)
 47     {
 48         b[0]=ksm(a[0],mod-2);
 49         return ;
 50     }
 51     Get_inv(a,b,lim-1);
 52     len=1<<lim;
 53     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
 54     memcpy(A,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
 55     NTT(A,1),NTT(b,1);
 56     for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b[i]*(2ll-A[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
 57     NTT(A,-1);
 58     lnt INV=ksm(len,mod-2);
 59     for(int i=0;i<(len>>1);i++)b[i]=A[i]*INV%mod;
 60     memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
 61     return ;
 62 }
 63 void Derivation(lnt *a,lnt *b)
 64 {
 65     b[len-1]=0;
 66     for(int i=0;i<len-1;i++)b[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;
 67     return ;
 68 }
 69 void Integral(lnt *a,lnt *b)
 70 {
 71     b[0]=0;
 72     for(int i=0;i<len-1;i++)b[i+1]=a[i]*ksm(i+1,mod-2)%mod;
 73     return ;
 74 }
 75 void ln(lnt *a)
 76 {
 77     int lim=0;
 78     while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
 79     len=1<<lim;
 80     Derivation(a,C);
 81     Get_inv(a,B,lim);
 82     len=1<<lim;
 83     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
 84     NTT(B,1),NTT(C,1);
 85     for(int i=0;i<len;i++)C[i]=C[i]*B[i]%mod;
 86     NTT(C,-1);
 87     lnt INV=ksm(len,mod-2);
 88     for(int i=0;i<len;i++)C[i]=C[i]*INV%mod;
 89     Integral(C,a);
 90     return ;
 91 }
 92 int main()
 93 {
 94     scanf("%d",&n);
 95     for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]);
 96     ln(f);
 97     for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(f[i]%mod+mod)%mod);
 98     puts("");
 99     return 0;
100 }
多项式对数函数

8.多项式指数函数（exp）

传送门：

这个就需要牛顿迭代了。

假设我们原多项式为$H(x)$，所求多项式为$F(x)$

假设我们有一个函数$G(F(x))\equiv 0 (mod\; x^n)$

我们已经得到$G(F_0(x))\equiv 0(mod\;x^n)$

那么写成泰勒展开，就得到了：

$G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))\equiv 0 (mod\; x^{2n})$

这里$G(x)=lnF(x)-H(x)$

代入上式得到：

$F(x)\equiv F_0(x)(1-ln(F_0(x))+H(x))(mod\;x^{2n})$

代码：

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 typedef long long lnt;
  5 const lnt mod=998244353;
  6 lnt A[1000000];
  7 lnt B[1000000];
  8 lnt C[1000000];
  9 lnt D[1000000];
 10 lnt E[1000000];
 11 lnt f[1000000];
 12 lnt g[1000000];
 13 int n;
 14 int len;
 15 int pos[1000000];
 16 lnt ksm(lnt a,lnt b)
 17 {
 18     lnt ans=1;
 19     while(b)
 20     {
 21         if(b&1)ans=ans*a%mod;
 22         a=a*a%mod;
 23         b=b/2;
 24     }
 25     return ans;
 26 }
 27 void NTT(lnt *a,int flag)
 28 {
 29     for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
 30     for(int i=2;i<=len;i<<=1)
 31     {
 32         lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
 33         for(int j=0;j<len;j+=i)
 34         {
 35             lnt w=1,t;
 36             for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
 37             {
 38                 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
 39                 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
 40                 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
 41             }
 42         }
 43     }
 44     if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
 45     return ;
 46 }
 47 void Get_inv(lnt *a,lnt *b,int lim)
 48 {
 49     if(lim==1)
 50     {
 51         b[0]=ksm(a[0],mod-2);
 52         return ;
 53     }
 54     Get_inv(a,b,lim-1);
 55     len=1<<lim;
 56     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
 57     memcpy(A,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
 58     NTT(A,1),NTT(b,1);
 59     for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b[i]*(2ll-A[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
 60     NTT(A,-1);
 61     lnt INV=ksm(len,mod-2);
 62     for(int i=0;i<len>>1;i++)b[i]=A[i]*INV%mod;
 63     memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
 64     return ;
 65 }
 66 void derivation(lnt *a,lnt *b)
 67 {
 68     b[len-1]=0;
 69     for(int i=1;i<len;i++)b[i-1]=a[i]*i%mod;
 70     return ;
 71 }
 72 void integral(lnt *a,lnt *b)
 73 {
 74     b[0]=0;
 75     for(int i=1;i<len;i++)b[i]=a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
 76     return ;
 77 }
 78 void Get_ln(lnt *a,lnt *b,int lim)
 79 {
 80     len=1<<lim;
 81     derivation(a,B);
 82     Get_inv(a,C,lim);
 83     len=1<<lim;
 84     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
 85     NTT(B,1);
 86     NTT(C,1);
 87     for(int i=0;i<len;i++)B[i]=B[i]*C[i]%mod;
 88     NTT(B,-1);
 89     lnt INV=ksm(len,mod-2);
 90     for(int i=0;i<len;i++)B[i]=B[i]*INV%mod;
 91     integral(B,b);
 92     return ;
 93 }
 94 void Get_exp(lnt *a,lnt *b,int lim)
 95 {
 96     if(lim==1)
 97     {
 98         b[0]=1;
 99         return ;
100     }
101     Get_exp(a,b,lim-1);
102     len=1<<lim;
103     memset(A,0,sizeof(lnt)*len);
104     memset(B,0,sizeof(lnt)*len);
105     memset(C,0,sizeof(lnt)*len);
106     memset(D,0,sizeof(lnt)*len);
107     memset(E,0,sizeof(lnt)*len);
108     Get_ln(b,D,lim);
109     len=1<<lim;
110     for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
111     memcpy(E,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
112     NTT(b,1);NTT(D,1);NTT(E,1);
113     for(int i=0;i<len;i++)D[i]=b[i]*(1ll-D[i]+E[i])%mod;
114     NTT(D,-1);
115     lnt INV=ksm(len,mod-2);
116     for(int i=0;i<len>>1;i++)b[i]=D[i]*INV%mod;
117     memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
118     return ;
119 }
120 int main()
121 {
122     scanf("%d",&n);
123     for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]);
124     int lim=0;
125     while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
126     Get_exp(f,g,lim);
127     for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(g[i]%mod+mod)%mod);
128     return 0;
129 }
多项式指数函数
posted @ 2019-03-07 08:04  Unstoppable728  阅读(437)  评论(0)  编辑  收藏  举报