【数学】总结
大题分布：
- 线性代数：
- 22线性方程组
AX=0，齐次通解，非齐次特解
齐次n-r - 23对角化，正交化。
|λE-A|=0
(λE-A)X=0
齐次n-r
- 22线性方程组
总结
- 经历换元后得到的函数，记得要换回原来的变量，方便判定答案对错。
经历换元后得到的常数，就无需换回去了，答案一致。 - 看到不定积分，先在题上写个+C，别忘了！
注意：数学中函数在“某点处”均指的x的值,而不是指的是那个点的坐标,
极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。或坐标
拐点是坐标
间断点是横坐标。如 x=0.（因为左右间断，突出在x=0间断，不需要写函数值）
- 所有技巧或结论无法使用的题，应从源头（定义法）考虑
- 1+变原则：把所有变+1化为1+变
- 所有幂指函数→指数函数再做，以免错误
- 求极限取最大
- 看好并写出定义域再做题
- 注意对数ln中若有分数，则试着拆项。有的比较隐蔽不易发现，如1+1/n
- 极值点（等特殊点）：①左右导反号；②导的导数<(>)0
注意：求极值点等特殊点时，需要判断驻点以及不可导点，尤其是不可导点，千万不要忘记。
-
求极限：∞
- 若不能明显比较，则用洛必达；
- 若可以明显的比较出来，则同除以分母中最大的项
若发现分子中有无穷大乘以有界函数，则考虑同除以分母最大项，化为无穷小与有界函数的乘积。
- 当n→∞时，\(ln^αn<<n^β<<a^n<<n!<<n^n\)（其中α>0，β>0，a>1）
-
求积分：换元（①arc、②根号）、拆项（留数法）、凑导常、配方（分母为根号，或者二次函数，且不可拆项）、倒代换1/(x...)
注意：求积分如果还原之后(x=f(t))，还有原项x未约掉（一般都可以约掉），可考虑不展开dx，直接将df(t)采用分部积分。
拆项：\({{1} \over {(t-1)(t+1)^2}}={{A} \over {t+1}}+{{B} \over {(t+1)^2}}+{{C} \over {t-1}}={D \over {t+1}}+{{Ex+f} \over {(t+1)^2}}\)
每一项设为假分数，即 分子的次数小于分母的次数
留数法求B、C：方程左右两边同乘B的分母，代入t=-1，使刚乘的数为0，消去其他项，可得到B=-1/2，
同理C=1/4，
将BC代入方程，t取0，求出A。
-
不定积分：****换元之后记得化为最初的那个变量（方便改卷老师判定答案）
-
极限\(0 \over 0\)、\(∞ \over ∞\)、\(0·∞\)、\(∞-∞\)、\(1^∞\)、\(∞^0\)、\(0^0\)
-
将单个二元双平方函数(如椭圆\(x^2/2+y^2=1\))的切点(√2cosθ,sinθ)设为参数方程形式，可避免平方与根号。（注意是单个，多个就可能出错）
-
单个或多个二元双平方函数：直接写出直角坐标方程，再换元（这部分换元如果不会，可以参照一下参数方程）（如 x=cost），也可达到同样的效果。（我一般使用的方法，方便取±根号，代表某一半；而参数方程不好取一半，t一改变，其他所有都要改变，所以不好取）
-
当比较两个函数时（如 f(x)<x）可以先画出两个函数，再比较。（y=f(x),y=x）
-
根号运算（从根号中提出）：要带||
-
距离、面积、体积：要带||
注意：被积函数带||，根据所画的图判断+-号更容易；当然，也可以用公式分开判断+-。
-
碰到绝对值||，一定要分类讨论，别偷懒！
-
旋转体：求旋转体时，若图像关于旋转轴对称，那么只用求正半边图像的旋转体，否则体积将变成两倍。（求旋转体的公式，也要求了，正半边）
-
反常积分：****上下限要拆成仅含一个反常，如 从负无穷到正无穷的x的积分，积分结果虽然为0，但是这个积分是发散的，因为拆成上下限一个反常的两部分，它们是发散的。
-
反常积分审敛性：
①求出积分，为常数值，则收敛；（简单的直接做就好了）
②使用审敛工具：（适用于较复杂的反常积分）- 无穷区间：\(∫^{+∞}_a{1 \over x^p}dx\)
- p≤1，发散；
- p>1，收敛；（p>1分母越无穷，其值越趋向于0，越收敛）
- 无界函数：\(∫^{b}_a{1 \over (x-a)^p}dx\)
很明显：a为瑕点。
- p≥1，发散；
- p<1，收敛；（p<1分母越不趋向于0，其值越不趋向于无穷大，越不发散，越收敛）
记忆：****无穷向外扩张，所以p>1；
无界函数只是瑕点，是常数，向内收缩，所以p<1；-
当然，有的需要一定程度的换元，在换元后也可用审敛工具（只需与微元保持一致即可），如 1/(xlnx)dx → 1/lnx d(lnx) → 1/y dy，p=1。
-
判断方法：
- 将待判断的式子，分别列出趋于无穷的点 和 瑕点，将积分区域分开。
- 然后取被积函数f(x)除以审敛工具的被积函数的在瑕点的极限，判断p为何值的时候，能得到常数值，即 反常时（取瑕点）它们同阶。不反常时当然收敛，不用判断了。
\[lim_{x→瑕点}{{f(x)} \over {审敛工具}}=C≠0 \]- 那么∫f(x)dx与审敛工具的敛散性一致。
- 只用判断审敛工具的敛散性（p）即可。
注意：面对\(∫^{+∞}e^{-ax}dx\)可能特殊一些，用上面的方法发现，p的值无法确定，但是换个思路想，\(e^x>>x^p\)，若想要=C，那么p趋于无穷大不就好了，则p>1，还是收敛的。
- 无穷区间：\(∫^{+∞}_a{1 \over x^p}dx\)
-
可微必连续，连续必可积
-
证可微：
- ①证连续
- ②偏导存在（分段函数用定义）
- ③证可微
-
注意：极坐标不能求导，所以要把极坐标→参数方程
$$r=r(θ)→x=r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ$$ -
而参数方程不能二重积分，所以要把参数方程→直角坐标（不要忘了，dx=...dt）
设y=y(x)，则\(∫dx∫^{y(x)}_0...dy\) → \(∫...dx\) → \(∫...dt\) -
求导、一重积分：参数方程t（只有一个变量）
对于圆、椭圆这种化简带根号的方程，使用参数方程更简便。
- 二重积分：极坐标θr（两个变量）
圆
- 积分最好拆项（包括+-分开求），分开求，不要一起，要逐个击破。
- 积分如果分开的两项不好算，试着化同域（限），合并起来求，可能有奇效。
- 切线法线垂直，所以斜率之积=-1
- 公切线y、y'相等
曲率圆y、y'、y''相等 - 第二小问没思路，不妨试试用第一问的结论，如 第一问求了值域，第二问可能用夹逼准则。
- （积分）仅对含n的项夹逼准则，否则用积分中值定理代入上下限，可能扩大了范围。
夹逼准则，先从部分夹逼，到整体夹逼
第一问f(x)∈[1,π/2]
第二问lim∫(f(x))^{1/n}·f(x)dx
f(x)∈[1,π/2]
√1≤√f(x)≤√(π/2)
√1∫f(x)dx≤∫√f(x)f(x)dx≤√(π/2)∫f(x)dx
lim√1=lim√(π/2)=1
∴由夹逼准则，有。。
- 变量树形图：如果想求出dy/dx，则根一定是y，而叶子一定是x，中间无所谓。
注意：已知1x+2y+3z=0，求出ax+by+cz=0，a、b、c不一定等于1、2、3。
只能说它们等比例，而不能说它们绝对相等。
能得出的等式应该是\({{a} \over {1}} = {{b} \over {2}} = {{c} \over {3}}\)
-
A是B的充分（必要）条件：A→B（B→A）
-
由。。定理，至少存在一点ξ∈( , )，使。。
-
对λ=5，由(5E-A)X=0
[]→[]
得特征向量α=。。
(k≠0) -
积分的不等式性质：可以得出
被积函数>(<)0，则积分>(<)0 -
二重积分判断符号时，结合积分域与被积函数图像，两者，判断符号；
当然，积分域只起到划分被积函数的作用，不影响符号。 -
原函数：不定积分，\(∫f(x)dx=∫_a^xf(x)dx+C\)（C为任意常数）
一个原函数：变上限积分，\(∫_a^xf(x)dx+C\)（此时的C与上面不同，可以根据条件求出来，是一个确定的原函数） -
求极限：要注意每步都要代入极限值进行检验，看是否有项化为了可以提出的常数。（赶紧提出，简化计算）
-
二重积分的实质其实就是求曲顶柱体的体积，也可以说是质量分布不均匀的物体的质量。
所以\(∫∫_Ddxdy\)其实就等于D的面积，用体积来说，就是顶为平面，高为1；用质量来说，就是质量均匀分布，密度为1.
公式
等价无穷小
当x→0时，
泰勒公式
试着等价无穷小代换后，分子次数<分母次数，则可以试着用泰勒公式，简单许多。
注意：要求某函数的高阶导数值，可以利用上述的对应的项乘以n!，即可得到\(f^{(n)}(0)\)。
求n阶导，小于n次的项都为0了。
- 其实也很简单，求出的项\(Ax^n\)，求n阶导，肯定是An!啊，其他小于n次的都导为0了，大于n次的x都取0了，所以只剩下刚好n次的。
\({2^x}={e^{xln2}}\)这样转化之后也可以用泰勒公式。
求导公式
arcsinx y∈[-π/2,π/2]
arccosx y∈[0,π]
arctanx y∈[-π/2,π/2]
arccotx y∈[0,π]
助记：切变割，割变切割。
积分公式
- 华里士公式sinxcosx：0~π/2
- 重要反常积分：\({∫_0^{+∞}e^{-x^2}dx}=√π/2\)
弦切割，都有现成的积分公式。（特别是割，遇到了之后别忘了）
∫ secx dx
= ∫ secx • (secx + tanx)/(secx + tanx) dx
= ∫ (secxtanx + sec²x)/(secx + tanx) dx
= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)
= ln|secx + tanx| + C
助记：无√镇压，系数冒出；有√镇压，系数消失。
三角公式
-
符号看象限，奇变偶不变
-
二角和差：
-
和差化积：
-
积化和差：
-
二倍角：
-
半角：
（正负由α/2所在的象限决定）
-
万能公式：
-
辅助角公式：
-
正弦定理：
-
余弦定理：
求和公式
- 等比求和公式\[Sn={{a_1(1-q^n)} \over {1-q}}={{a_1-a_nq} \over {1-q}} \]
几何公式
- 点到直线的距离公式：公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
证明
-
常数等式或不等式：
常数→函数
一般①ξ→x；②b→x(换上限，化函数)(a,b) -
证明存在ξ：****移到一边再说，构造新的辅助函数
- 只有f：移到一边，构造新的辅助函数
- 零点定理，代入区间端点值
- 或单调性
- 有f、f'：中值定理，罗尔定理
- 有f''或高阶导：
- 可能要用一次中值定理、一次零点定理
- 泰勒公式：
展开一个点的公式（一般是0），代入另外两个点，进行求解
- 0点问题：零点定理、罗尔定理，移到一边，构造新辅助函数。
- 只有f：移到一边，构造新的辅助函数
函数、极限、连续
函数
- 积导，变奇偶：函数的积分（导数），奇偶性要改变
注意：奇函数x如果存在，x=0时f(x)=0；
而偶函数任意。
- 奇+奇=奇，偶+偶=偶；奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇
极限
- 极限保号性：****存在ε>0，在(0,ε)内...<(>)0，则存在x1∈(0,ε)，使f(x1)<(>)0。
如，\(lim_{x→0^+}{f(x) \over x}<0\)
由极限的保号性可知，存在ε>0，在(0,ε)内f(x)/x<0，则存在x1∈(0,ε)，使f(x1)<0。
- 当n→∞时，\(ln^αn<<n^β<<a^n<<n!<<n^n\)（其中α>0，β>0，a>1）
- 需分左右极限的情况：
- 分段函数在分界点处的极限，分界点两侧函数表达式不同（包括绝对值）
注意：分界点一律用定义做，以免出错。
- \(e^∞\)型极限
- arctan∞型极限
- 夹逼准则
- 单调有界准则：单调有界数列必有极限（必收敛），即单调增（减）有上（下）界的数列必有极限。
- 证有界（或收敛）
- 证相应的单调
如 有上界肯定证明单调递增。。。
- 有理运算法：
- 若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)±g(x)]一定不存在，lim[f(x)×(÷)g(x)]不一定存在；
- 若limf(x)和limg(x)都不存在，则lim[f(x)±(×)(÷)g(x)]都不一定存在。
- 极限运算拆项：加减乘除，拆项后每一个子项极限均存在才可以拆项，否则不行。
- 乘除中，极限非零的因子极限可先求出来
- 二阶导在x0存在→一阶导在x0去心领域内有定义，连续可导
- 不同题型：
- n项连乘 取对数 化为n项和
- n项和的数列极限：夹逼定理、定积分定义
- 递推关系xn+1=f(xn)定义的数列（求极限、证收敛。。）：单调有界准则
- 泰勒公式：\[e^x={1+x+{x^2 \over {2!}}+...+{x^n \over {n!}}+o(x^n)} \]\[sinx={x-{x^3 \over {3!}}+...+(-1)^{n-1}{x^{2n-1} \over {(2n-1)!}}+o(x^{2n-1})} \]\[cosx={1-{x^2 \over {2!}}+...+(-1)^n{x^{2n} \over {(2n)!}}+o(x^{2n})} \]\[ln(1+x)={x-{x^2 \over {2}}+...+(-1)^{n-1}{x^n \over n}+o(x^n)} \]\[(1+x)^α={1+αx+{{α(α-1)} \over {2!}}x^2+...+{{α(α-1)...(α-(n-1))} \over {n!}}x^n+o(x^n)} \]
连续
- 复合函数连续性：只有一个确定，连续 连续 → 连续（其余均不确定）
- 设f(x)在x=x0间断，g(x)连续，则f(x)±g(x)间断
- 设f(x)=g(x)h(x)，g(x)连续，h(x)不连续，g(x0)=0↔f(x)连续
一元函数微分学
- 在分段函数的分界点处，一般用定义求导
- 求点的导数用定义（好处：不用判断该点的不可导函数）
- 极值点（等特殊点）：①左右导反号；②导的导数<(>)0
注意：求极值点等特殊点时，需要判断驻点以及不可导点，尤其是不可导点，千万不要忘记。
- 左右导数存在→连续
且相等→可导
注意左右导数与导数的左右极限相区分，左右导数是同一个点的导数，而导数的左右极限不一定是同一个点。
-
比较大小：相除、相减、求导
-
注意：****极坐标不能求导，所以要把极坐标→参数方程
r=r(θ)→x=r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ -
不可导函数，可以同时是极值点与拐点；
但对于可导函数，不能同时是极值点与拐点。 -
若只能判断某一特殊点f'=0，（不知道是否有其他极值点），则判断f(x)单调性
-
唯一极值点必为最值点，求解极值点唯一才能为最值点。
-
特殊点（极值点，拐点）：导数=0或f'不存在不可导。
-
注意：****求切线，也要先看看垂直时候（导数不存在），是否为切线。
-
渐近线：
- 铅直渐近线：（左右就一条）（取无定义点x0，x→x0-或x→x0+=∞，满足其一即可）
- 水平渐近线：（左右可能不同）（取x→+∞和x→-∞=b，需分左右极限时需要取两个，否则只用取一个∞即可）
- 斜渐近线：（左右可能不同）（取x→+∞和x→-∞）
注意：为了方便记忆，都分左右极限较好，不过水平渐近线很容易能看出±∞的值是否一致。
-
有界和无界：
- 在有限区间上，以f(x)或f'(x)有界为条件，只有下述命题正确：“设f'(x)在(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界”
- 在有限区间上，以f(x)或f'(x)无界为条件，只有下述命题正确：“设f(x)在(a,b)上无界，则f'(x)在(a,b)必无界”
- 在无穷区间上，以f(x)或f'(x)有（无）界为条件，推不出f'(x)或f(x)关于有界、无界的结论。
-
曲率：
- 曲率（即 曲线偏离切线的程度）：\(K={{|y''|} \over {(1+y'^2)^{3 \over 2}}}\)
- 曲率半径：R=1/K
如 地球，R大，但K小（偏离小）；所以让人感觉地是平的（天圆地方）
- 曲率圆与该点相切，则 有相同的y,y',y''。
一元函数积分学
- +-可拆开算，×÷不行（得拆项）
与极限区分开
- 不规则→规则与不规则的和差
另一部分→整体-已知部分 - 积分+-化同域（限）
- 若f(x)有间断点且原函数存在，则间断点一定为振荡间断点。
- 所谓图形的面积→||
定积分的值→没有|| - 定积分的不等式性质：可用于夹逼准则，缩放上下限
- 积分中值定理：可用于去掉积分（求积分极限可用）
去掉积分方法：①求导；②积分中值定理
- 定积分极限→①先考虑化为函数极限，用洛必达；②积分中值定理、夹逼定理
- 变上限积分：
- 变上限积分函数不一定可导，但一定连续f(x)=|x|
- 但f(x)连续，其变上限积分可导
- 若f(x)仅是可积，则只能保证变上限积分函数连续，不能保证可导
- 原函数一定连续可导，导函数不一定连续
- 求积分：****换元（根号、arc）、拆项、凑导常、配方（分母为根号，或者二次函数，且不可拆项）、倒代换1/(x...)
- √二次多项式，可用几何定义，如 圆
- 华里士公式：0~π/2
- 积分，函数在一点的值无穷，但面积可求。
注意：反常积分上下限要拆成仅含一个反常，如 从负无穷到正无穷的x的积分，积分结果虽然为0，但是这个积分是发散的，因为拆成上下限一个反常的两部分，它们是发散的。
- 重要反常积分：\({∫_0^{+∞}e^{-x^2}dx}=√x/2\)
- 定积分的应用：
- 极坐标：
①取微元：如果是水那种，一般取dy，就一层一层的水
②用平面直角坐标的公式∫...=dx
代入x=rcosθ，y=rsinθ
化为∫...dθ - 参数方程：
平面直角坐标代入方程t（记得换限）
注意：****换限时，要依据x的范围来换t。
如 x=acost x∈[-a,a]，那么t∈[-π,π]。
（当然[0,2π]也可以，但是并不是顺着一一对应的，所以在特殊的题目中可能会出问题。
对于参数方程，不用管t的取值范围都可以
如果要取至少用取一个周期的，也就是0度到360度[0º，360º)- 注意：参数方程中的角度和极坐标方程中的角度可以不一致，如(x-1)2+y2=1，参数方程的角度可以是02π，而极坐标是-ππ。
- 极坐标：
- 物理应用：形心等（力臂=力矩/力）
- 建立坐标系
- 确定所求矢量的方向（如 力）
注意：定积分只能计算出数值，并不能合成各个方向的力。
∴要自己先分析力的方向，再计算数值。- 根据物理原始公式 ，建立所求量的微元
微元：取一段（如[x,x+dx]）（只考虑微元，不考虑整体）
- 确定上下限
- 计算定积分
求形心、质心：****（\(力臂={力矩 \over 力}\)）
\(x={{∫∫xρ(x,y)dxdy} \over {∫∫ρ(x,y)dxdy}}\)
\(y={{∫∫yρ(x,y)dxdy} \over {∫∫ρ(x,y)dxdy}}\)
常用结论
- 若f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积；
- 若f(x)在[a,b]上可积，则\(F(x)=∫^x_af(t)dt\)在[a,b]上连续；
- 若f(x)在[a,b]上除x0∈(a,b)点外处处连续，x=x0为f(x)的跳跃间断点，则\(F(x)=∫^x_af(t)dt\)在x=x0处不可导。
- 如果f(x)在[a,b]上除x0∈(a,b)外均连续，而在x=x0处f(x)有跳跃间断点：
记\(F(x)=∫^x_cf(t)dt\)，有结论：- F(x)在[a,b]上连续
- F'(x)=f(x)，当x∈[a,b]，但x≠x0
- \(F'_-(x0)=f'(x0^-)\)，\(F'_+(x0)=f(x0^+)\)
- x=x0处连续、不可导。
其实很好理解，当被积函数f(x)跳跃时，F(x)的变化规律会发生改变，导致曲线在该点不是光滑的，左右变化规律不同，左右导数不同，该点连续不可导。
多元函数微积分
-
可微性：
- 连续一阶偏导数→可微
注意：一阶偏导连续一定可微，但是不连续不一定不可微，可微不一定一阶偏导连续。（充分条件）
- 按定义：lim（全增量-全微分）/ρ=0是否成立？若成立，可微；否则不可微。
\[lim{{[f(x_0+△x,y_0+△y)-f(x_0,y_0)]-[f'_x(x_0,y_0)△x+f'_y(x_0,y_0)△y]} \over {ρ}}=0 \]\[ρ={\sqrt{((△x)^2+(△y)^2}} \]（常用做法，上面一个做法一阶偏导不连续的话也不能判断不可微，所以还是要用这个方法）
-
证可微：
- ①证连续
- ②偏导存在
- ③证可微
-
复合函数求导：写出变量树形图
-
变量树形图，如果想求出dy/dx，则根一定是y，而叶子一定是x，中间无所谓。
注意：已知1x+2y+3z=0，求出ax+by+cz=0，a、b、c不一定等于1、2、3。
只能说它们等比例，而不能说它们绝对相等。
能得出的等式应该是\({a \over 1} = {b \over 2} = {c \over 3}\)
- 极值：****\(f'_x=0, f'_y=0\)
令\(f''_{xx}(x_0,y_0)=A,f''_{xy}(x_0,y_0)=B,f''_{yy}(x_0,y_0)=C\)- \(AC-B^2>0\)时，取极值
- A>0时，极小
- A<0时，极大
- \(AC-B^2<0\)时，无极值
- ❤\(AC-B^2=0\)时，不确定，则用定义；即 在领域内取得最大最小值，即为极值。+-
如 对于点(0,0)，有\(AC-B^2=0\)，故需要利用极值的定义进行判定。
在点(0,0)的去心领域内，取y=x与y=-x，则
z(x,x)=...<0=z(0,0)
z(x,-x)=...>0=z(0,0)
故点(0,0)不是z(x,y)的极值点。 - \(AC-B^2>0\)时，取极值
- 条件极值（最值）：
- 在D内：求可能取得的极值点（驻点和一阶偏导不存在的点）的函数值
- 在D的边界：最大、最小值（拉格朗日乘数法只能用于边界）（即 函数f(x,y,z)在曲线。。上的极值）
（注意：边界就是限制的范围，不止是平面图形有边界，曲线也有边界，如x-xy+y3=1(x≥0,y≥0)，边界为x=0,y=1;y=0,x=1，也很好理解，因为这是一条线段）
注意：拉格朗日乘数法以λ来分类，如(λ-1)(x-y)=0，分为λ=1和λ≠1，方便观察。
还有，不要随意约分，不要轻易移项、相除，因为分母可能为0，得分类讨论，所以我们一般不约分变量，把式子化为相乘的形式。如 x+λx=0,y+λy=0，可以得出的是(λ+1)(x-y)=0，不要瞎约分最后仅得出x=y。 - 二重积分步骤：
- 画积分域
- 利用对称、奇偶，化简原始的\(∫∫_D\)
- 确定坐标系
- 确定先后积分（观察被积函数，好积分的先积分，不好积分的后积分）
（如 被积函数为f(y)，x好积分，先积分x，后积分y）
- 化简
- 再确定一遍先后积分（看是否需要交换次序）
- 计算
常微分方程
-
一阶方程：
- 线性
- 齐次
- 可分离
- 换位思考（x，y的地位互换）
-
高阶方程：
- 非常系数：（可降阶）不含x、不含y
- 常系数：线性齐次、线性非齐次
-
解方程：求y=。。。y(x)
y+√(y2-1)=ex
利用平方差：分子分母同乘y-√(y^2-1)，得。。。
联立两个式子，得出结果y=y(x) -
线性常系数非齐次：特解中的多项式要设成最大次幂的多项式，以便于覆盖所有结果。
如，\(f(x)=e^{λx}[P^{(1)}_l(x)coswx+P^{(2)}_n(x)sinwx]\)型（λ为已知常数，\(P^{(1)}_l(x)\)与\(P^{(2)}_n(x)\)分别为x的l次、x的n次的已知多项式。
其特解中的多项式应设为\(R^{(1)}_m(x)\)、\(R^{(2)}_m(x)\)，其中\(m=max{l,n}\)。
\(y^*=x^ke^{λx}[R^{(1)}_m(x)xcoswx+R^{(2)}_m(x)sinwx]\)
行列式
-
行列式是一个常数，（求值 行列变换可混合用）
-
三角法
-
独一法
-
主对角线行列式=主对角线元素的乘积
-
副对角线行列式=\((-1)^{{n(n-1)} \over {2}}\)副对角线元素的乘积
-
拉普拉斯展开式：（分块矩阵）（A和B分别是m阶和n阶矩阵）
\[\]A &* \
- &B \
\end{array}\right| =|A|·|B|
\[ \]\left |\begin{array}{cc}
- &A \
B &* \
\end{array}\right| =(-1)^{mn}|A|·|B|
\[\] - &B \
（后-前）相乘
- 对角型矩阵：适合逐行（列）相加（减）
矩阵
- 求秩（值） 混合变换
- 求逆 行（列）变换 混合会改变结构
- 矩阵等价：有限次初等变换。
矩阵等价↔秩相等
-
存在r阶子式不为0，那么矩阵的秩r(A)≥r。
r阶子式：****任取r行r列，相交元素组成的行列式。 -
求逆：
\[(A|E)→(E|A^{-1}) \] -
求线性方程组AX=B的解：
\[(A|B)→(E|X) \] -
求XA=B，先→\(A^TX^T=B^T\)
\[(A^T|B^T)→(E|X^T) \] -
伴随矩阵的重要公式：
\[AA^*=A^*A=|A|E \]\[(A^*)^T=(A^T)^* \]\[|A^*|=|A|^{n-1} \]\[{(kA)^{-1}}={(A^{-1})^*}={{{1} \over {|A|}}A},|A|≠0 \]\[(kA)^*=k^{n-1}A^* \]\[(A^*)^*=|A|^{n-2}A,(n≥2) \]\[r(A*) = \begin{cases} n, & \text {r(A)=n} \\ 1, & \text{r(A)=n-1} \\ 0, & \text{r(A)<n-1} \end{cases}\]\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]\[(AB)^T=B^TA^T \]外逆内逆
但逆的+-不能拆开，而转置可以\((A+B)^T=A^T+B^T\) -
矩阵秩的公式：
- 若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=0,则r(A)+r(B)≤n
分块矩阵
主不变，副互换。（在求转置、求逆的时候，主对角线不变换位置，副对角线互换）
（分块矩阵）（A和B分别是m阶和n阶矩阵）
向量
- 向量组等价：两个向量组可以相互线性表出，则这两个向量组等价
充要条件：向量组等价↔r(I)=r(II)=r(I,II)
向量组等价→秩相同
-
线性相关：
设\(k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0\)- k不全为0：线性相关
- k全为0：线性无关
抽象用定义，具体数值用结论||≠0
-
重要定理：
- n+1个n维向量必相关
- 整体无关→部分无关
部分相关→整体相关
正交
-
正交化：
设向量组α1，α2，α3线性无关，
令\(β_1=α_1\)，
\(β_2=α_2-{{(α_2,β_1)} \over {(β_1,β_1)}}β_1\)
\(β_3=α_3-{{(α_3,β_1)} \over {(β_1,β_1)}}β_1-{{(α_3,β_2)} \over {(β_2,β_2)}}β_2\)减去α在β上的投影
-
正交矩阵：|A|=1或-1
\(AA^T=A^TA=E\)
\(A^T=A^{-1}\)
\(A的列（行）向量组是正交规范向量组\)
线性方程组
\(A_{m×n}\)：m个方程，n个未知数，r(A)为有用的方程。
Ax=0
- r(A)+线性无关解向量个数=n
| r(A) | + | 线性无关解向量个数（基础解系） | = | n |
|---|---|---|---|---|
| 约束变量 | + | 自由变量 | = | 未知量个数 |
| 方程个数（行数） | + | 自由变量 | = | 未知量个数（列数） |
| 向量的极大无关组个数 | + | 基础解系 | = | |
| 一般取非0首元 | + | 其他（自由变量） |
一个基础解系：是指齐次方程组通解中的线性无关所有的解向量组成了一个基础解系。
向量的极大无关组：我约束固定，你们变不变与我无关。
-
基础解系n-r(A)，只有齐次有（(λE-A)x=0用来测试能否对角化，即 重根数是否等于线性无关解向量个数）
非齐次只有特解概念 -
齐次通解+非齐次特解=非齐次通解
齐次通解：自由变量其中一个取1，其他取0
非齐次特解：自由变量全取0
- 方程组Ax=0与Bx=0同解↔\(r(A)=r(B)=r{A \choose B}\)
- 方程组Ax=0与Bx=0公共解是满足方程组\({A \choose B}x=0\)的解
- 定义法：****求出其中一个方程通解，代入另一个的方程，求出满足的条件，利用此条件配合通解（如k1+k2+k3=0, k1=-k2-k3，代入通解），即可得出所求满足条件的解。
特征值、向量、相似矩阵
- n个互不相同的特征值→n个线性无关特征向量↔A可相似对角化
(λE-A)x=0 r(λE-A)+线性无关解向量个数=n
λ为m重根，看线性无关解向量个数是否为m，若为m，则可相似对角化。
-
注意：有特征值不代表可以相似对角化，m重特征值，一定要m个线性无关解向量，才能相似对角化。
-
\[∑^n_{i=1}λ_i=∑^n_{i=1}a_{ii} \]
- 幂零矩阵的唯一特征值为0
| 矩阵 | A | kA | \(A^k\) | f(A) | \(A^{-1}\) | \(A^*\) | \(A^{-1}+f(A)\) | \(A^T\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 特征值 | λ | kλ | \(λ^k\) | f(λ) | \(λ^{-1}\) | \(|A|λ^{-1}\) | \({{1} \over {λ}}+f(λ)\) | λ |
| 向量 | α | α | α | α | α | α | α | 不一定α |
注意：\(A^*\)的特征值不是\(λ^{n-1}\)
\(A^T\)的特征向量不一定是α
- 相似对角化的意义：是为了解决矩阵的多次幂，化为对角矩阵之后，多次幂方便求了。
\(P^-1AP=B\) → \(P^-1A^{99}P=B^{99}\)
\(A^{99}=PB^{99}P^-1\)
相似
设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使\(P^{-1}AP=B\)
对角和、||积相等
注意这是充分条件。
如果要求是否相似，还是得从定义开始求，看能否相似对角化（即 (λE-A)x=0，m重根是否能对应m重线性无关向量(n-r(λE-A))）
-
矩阵相似↔有相同特征值
矩阵合同↔有相同正、负惯性指数 -
α1，α2，α3线性无关，A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)[矩阵B]
那么矩阵B与矩阵A相似。
二次型
\(f(x)=x^TAx\)
- 正交变换（对角化）：x=Qy（得出来的系数是特征值，标准型）
- 配方法：（一般用于判断正负惯性指数，规范型）（因为不用求出具体的特征值）（得出来的系数不是特征值）
注意：如果很麻烦，就考虑对角化，这题可能不适合配方。要学会随机应变。
①y的个数应与x的个数相同；
②设成什么都可以，但必须使得y和x之间的过渡矩阵可逆(|A|≠0)；所以y3=x3最简单
（因为配方法是线性变换（坐标变换）要可逆，就比如说解方程，加减、乘除就是可逆的）
- 有平方项：
第一个平方项x1，对所有含x1的项配完全平方，再配第二个平方项。
\(x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)
\(x_1^2+2·x_1·(x_2+x_3)+(x_2+x_3)^2+2x_2\)
\((x_1+x_2+x_3)^2\)
- 没有平方项：
令x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3,...,xn=yn，使之出现平方项，再配方。
合同
设A，B是两个n阶方阵，若存在可逆阵C，使得\(C^TAC=B\)，则A合同于B
正定
若对于任意的非零向量x，恒有\(f(x)=x^TAx>0\)，则正定。
已知特征值和部分特征向量
已知实对称矩阵A的特征值和部分特征向量，求其余特征向量和矩阵A。（先求出其余特征向量，再求A）
- 已知特征值和一个特征向量，另外两个特征向量是同一特征值
设待求特征向量为x=(x1,x2,x3)，与已知特征向量相乘(\(α1^Tx=0\))(线性方程组AX=0)，得到一个式子(AX=0)，用这个式子求出X的两个线性无关解向量 - 已知特征值和两个特征向量，求另外一个特征向量
设待求特征向量为(x1,x2,x3)，与已知特征向量相乘(\(α1^Tx=0\),\(α2^Tx=0\))(线性方程组AX=0)，解出特征向量。
遇到加减方程式（组），直接想到线性方程组，可以更快求解。
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