计算机视觉学习-几何基元

几何基元

对于2D的点，同城我们可以用一对数值来表示，\(x=(x,y)\),或者以另一种形式：

\[x=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] \]

但对于使用笛卡尔标系情况下，并不能表示无穷远的点，对于无穷远的点坐标为\((\infty,\infty)\),没有办法表示，所以需要采用齐次坐标系表示。

齐次坐标系

在欧式（几何）空间，同一平面，两条平行直线永不向交，这是我们都熟知的，然而在透视空间内，两条品行线可以相交，如下图：

齐次坐标是由 August Ferdinand Möbius 引入的，使其在投影空间中进行图形和几何计算成为可能。

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标

我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成 2D齐次坐标。因此，一个在笛卡尔坐标系下的点\((x, y)\)在齐次坐标里面变成了\((X, Y, w)\),并且有

\[X=x/w \]

Y=y/w

\[\]

例如，笛卡尔坐标系下(1,2)齐次坐标可以表示为 (1,2,1)。如果点 （1,2） 移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为\((\infty,\infty)\)，然后它的齐次坐标表示为 （1，2，0）

证明两直线可以相交

考虑如下欧几里得空间的线性系统方程：

\[\begin{cases} Ax+By+C=0\\ Ax+By+D=0 \end{cases} \]

在笛卡尔坐标系里，如\(C\not=D\)情况无解，否则表示同一条直线。但在齐次坐标系下：

\[\begin{cases} A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+C=0\\ A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+D=0 \end{cases} \]

之后转化位

\[\begin{cases} Ax+By+Cw=0\\ Ax+By+Dw=0 \end{cases} \]

现在我们有一个解(x,y,0) ，因为(C-D)w=0 ,所以w=0。因此，两条直线相交于(x,y,0)，这个点在无穷远处