【题解】[AGC035F] Two Histograms

提供一个与所见题解不同的思路。可能较为复杂，但本人感觉更为自然。最后的式子是一样的。

考虑如何判定一个给定的网格是否能通过操作得到。我们从下往上依次确定操作。观察网格的最后一行，能发现可能合法的网格具有如下性质：（这些性质和下文提到的性质都较为显然，因此不额外进行原因的说明）

1. 所有 \(2\) 应在所有 \(0\) 的左边。
2. 这一行的 \(+1\) 操作一定延伸到了最右的 \(2\) 的右侧，但在最左的 \(0\) 的左侧。这二者之间一定全是 \(1\)。
3. 一个 \(2\) 会迫使其所在的列的 \(+1\) 操作从网格最上面延伸至当前这一行。我们称这样的列“被限制”。同时，若一个 \(1\) 的左边有 \(0\)，那么它也会迫使其所在列的 \(+1\) 操作有如上性质。

一个例子如图所示：

图中红色部分即代表“被限制”的列。这一行的 \(+1\) 操作至少应延伸到蓝色实线部分，至多延伸到蓝色虚线部分。可以发现，这二者之间的某个 \(1\) 若未被该行 \(+1\) 操作覆盖，则也会使其所在列“被限制”。因此我们强制让该 \(+1\) 操作延伸到虚线部分，就不会出现这种情况，是对其他尚未确定的操作限制最少的。

那么现在最后一行的操作已经确定了，而它对于其他操作的确定的影响，仅仅是这些“被限制”的列。

看向下一个行。如果给当前行确定操作时，已经有了一些“被限制”的列，是什么情况呢？上面的性质都会继续存在，但是会多出一条：在当前行内，已经“被限制”的列只能是 \(1\) 或 \(2\)，且这些 \(2\) 一定在这些 \(1\) 的前面。

接下来我们定义这一行的分段点：关注上述的 \(2\) 和 \(1\) 中，最右的 \(2\) 和最左的 \(1\) 之间的部分。如果它们之间没有 \(0\)，称这个“最左的 \(1\)”为分段点；否则，称这些 \(0\) 中最左的为分段点。

（若最右的 \(2\) 不存在，视其在整行的左边；最左的 \(1\) 不存在视为在整行右边）

那么，处在分段点及其右侧的格子，只能是 \(0\) 或 \(1\)；其左的格子，只能是 \(1\) 或 \(2\)。并且，如果右侧格子是 \(1\)，会造成所在列“被限制”；左侧格子为 \(2\) 同理。

此时进行一个重要观察：在当前行，如果一个列确定了“被限制”的时间（之前、在当前行新增、尚未），又确定了在分段点的哪一侧（左、右），就可以唯一确定这一列应该是哪个数了。也即，当前行的数字，和当前行的分段点位置+每一列的“被限制”情况，构成一个双射。

于是可以尝试设计一个这样的dp：记 \(dp_{i,j}\) 表示在第 \(i\) 行之后填数的方案数，使其确定第 \(i\) 行之后的操作会让 \(j\) 个列“被限制”。

考虑刷表转移。枚举新增“被限制”列数 \(k\)，并分类讨论。

1. 分段点所在列是一个之前已经“被限制”的列。

\[dp_{i-1,j+k}\ \leftarrow_+\ dp_{i,j}\times j\times \binom{m-j}{k} \]

2. 是一个未“被限制”的列。给它填上0。

\[dp_{i-1,j+k}\ \leftarrow_+\ dp_{i,j}\times (m-j)\times \binom{m-j-1}{k} \]

我们终于获得了一个多项式时间的算法。考虑上述dp过程的组合意义，就是在每一行选了一个分段点，又给每一列确定了在哪一行首次“被限制”，以此唯一对应一个合法填数方案。（想一想，为什么）但是有一个限制：如果第 \(j\) 列被第 \(i\) 行选为了分段点，则其不能恰好在第 \(i\) 行时首次“被限制”。

用生成函数描述，则一个行的生成函数为：

\[\sum_{i=0}(m-i+1)\dfrac{x^i}{i!}=(m+1-x)e^x \]

组合意义是说，枚举这一行造成的“首次被限制”的列数 \(i\)，则这些列不能被这一行选为分段点，于是选分段点的方案数是 \(m+1-i\)。（\(+1\) 的原因是分段点可以在整行的右边，可以看分段点定义处）。而指数型生成函数就将列的标号分配给了行。

所以答案就是：

\[\left[\dfrac{x^m}{m!}\right][(m+1-x)e^x]^n\times e^x \]

最后卷一个 \(e^x\)，是因为可能有的列最后也没有“被限制”，将它们放进 \(e^x\) 中。

化简得

\[m!\sum_{i=0}\binom n i(-1)^i(m+1)^{n-i}\dfrac{(n+1)^{m-i}}{(m-i)!} \]

可以 \(O(n)\) 计算。