算法第三章作业

1. 实践报告
   1.1 最优子结构与递归方程式
   状态定义：定义 dp[i][j] 表示商人从网格左上角 (0, 0) 走到网格位置 (i, j) 时，所花费的最少通行费。

最优子结构性质：题目限制商人必须在 (2N-1) 个单位时间内穿越出去。从左上角 (0,0) 到右下角 (N-1, N-1)，如果只能向右和向下移动，正好经过的方格数为 2N-1 个（步数正好）。这意味着商人不能走回头路（不能向左或向上）。因此，到达位置 (i, j) 的前一步只能是从其上方 (i-1, j) 或左方 (i, j-1) 走过来的。到达 (i, j) 的最少费用，取决于到达其上方或左方的最少费用加上当前格子的费用，这满足最优子结构性质。

递归方程式：
当 i == 0 && j == 0 时：dp[i][j] = cost[i][j] （起点）
当 i == 0 && j > 0 时（第一行）：dp[i][j] = dp[i][j-1] + cost[i][j]
当 i > 0 && j == 0 时（第一列）：dp[i][j] = dp[i-1][j] + cost[i][j]
当 i > 0 && j > 0 时：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + cost[i][j]
边界条件：
输入网格大小N需满足 1≤N<100
第一行和第一列由于只有唯一路径（只能一直向右或一直向下），因此需单独进行累加初始化。

1.2 填表法分析
表的维度：二维数组表 dp[N][N]。

填表范围：i 从 0 到 N-1，j 从 0 到 N-1。

填表顺序：从上到下（行号 i 递增），从左到右（列号 j 递增）。因为计算 dp[i][j] 依赖于其上方 dp[i-1][j] 和左方 dp[i][j-1] 的值，所以必须按照这个顺序计算（即自底向上的方式）。

原问题的最优值：原问题要求从左上角到右下角的最少费用，因此最优值就是二维表格右下角的元素：dp[N-1][N-1]。

1.3 算法的时间和空间复杂度分析
时间复杂度：代码使用了两层嵌套的 for 循环遍历整个 N×N的网格，每个状态的计算（比较和加法）只需 O(1)的时间。因此，时间复杂度为 O(N²)。

空间复杂度：算法中使用了 cost[105][105] 来存储原网格数据，以及 dp[105][105] 来存储动态规划的状态值。两者的大小都取决于N，因此空间复杂度为 O(N²)。

2. 对动态规划算法的理解和体会
   动态规划是将一个复杂的原问题拆解成多个相互重叠的子问题，通过存储子问题的解，避免重复计算，从而高效地求解。

体会：1.要有严谨的边界处理，初始状态非常重要；2.合理的递推顺序，填表法必须保证“依赖项先于计算项得出”；3.局部最优与全局最优，每个格子都在做当前的最优决策，最终积累的结果自然就是全局最优。