[Solution] [IOI1998]Polygon

区间DP

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• 和石子合并类似。新增了乘法运算符。

• 思路：

  • 拆环为链

    • t -7 t 4 x 2 x 5  --->   t -7 t 4 x 2 x 5 t -7 t 4 x 2 x 5
      

    • 这么干的好处是，不用考虑圆环的首尾相接处的特殊处理。

  • 状态设计

    • \(F[L][L+N]\)就是拆除了边\(L\)后的最佳结果。
    • 对于乘法来说，有的规则似乎不适用。例如 负负得正。但是，经过一些简单的数学推导可以得出，最大值可能来自于两个小负数相乘，或者两个大证书相乘。
    • 进一步归纳，就是 同号两数相乘，且两数绝对值较大 。
    • \(FMax]][]\)和\(FMin[][]\)分别维护绝对值最大的正数和负数。

  • 状态转移

    • 对于加法，按照普遍的经验即可。
    • 重点是乘法，牢记同号得正，异号得负。

• 参考代码及注释

  #include <stdio.h>
  #include <string.h>
  #define Clean(X,K) memset(X,K,sizeof(X))
  #define GC getchar()
  #define Min(X,Y) (X<Y?X:Y)
  #define Max(X,Y) (X>Y?X:Y)
  
  int Qread () {
  	int X = 0 , F = 1;
  	char C = GC ;
  	while (C > '9' || C < '0') {
  		if (C == '-') F = -1 ;
  		C = GC ;
  	}
  	while (C >='0' && C <='9') {
  		X = X * 10 + C - '0' ;
  		C = GC ;
  	}
  	return X *F ;
  }
  
  const int Maxn = 52 , INF = 20021020;
  int N , A[Maxn << 1] , F_Max[Maxn << 1][Maxn << 1] , F_Min[Maxn << 1][Maxn << 1];
  char O[Maxn << 1];
  /*
  变量名解释
  A[]:原始数据
  O[]:原始运算符 
  F_Max[Maxn << 1][Maxn << 1] , F_Min[Maxn << 1][Maxn << 1]：分别维护绝对值最大的正数和负数 
  */
  int main () {
  	Clean (F_Max , ~0x3f) , Clean (F_Min , 0x3f) ;
  
  //	freopen ("Polygon.txt" , "r" , stdin) ;
  	N = Qread () ;
  	for (int i = 1 ; i <= N; ++ i) {
  		do {
  			O[i] = O[i + N] = GC ;
  		} while (O[i] != 't' && O[i] != 'x');
  		A[i] = A[i + N] = F_Max[i][i] = F_Min[i][i] = F_Max[i + N][i + N] = F_Min[i + N][i + N] = Qread () ;
  	}
  	
  	for (int Len = 2 ; Len <= N ; ++ Len) {
  		for (int St = 1 ; St <= (N << 1) - Len; ++ St) {
  			for (int K = St ; K < St + Len - 1 ; ++ K) {
  				/*
  				Len ： 枚举区间的长度
  				St ：区间的左端点
  				K ：把区间分成 [St,K]和[K + 1,St + Len - 1]两部分 
  				*/
  				if (O[K + 1] == 't') {
  					F_Max[St][St + Len - 1] = Max (F_Max[St][St + Len - 1] , F_Max[St][K] + F_Max[K + 1][St + Len - 1]) ;
  					F_Min[St][St + Len - 1] = Min (F_Min[St][St + Len - 1] , F_Min[St][K] + F_Min[K + 1][St + Len - 1]) ;
  				} else {
  					F_Max[St][St + Len - 1] = Max (F_Max[St][St + Len - 1] , F_Min[St][K] * F_Min[K + 1][St + Len - 1]) ;
  					F_Max[St][St + Len - 1] = Max (F_Max[St][St + Len - 1] , F_Max[St][K] * F_Max[K + 1][St + Len - 1]) ;
  					//负负得正，取得较大值 
  					F_Min[St][St + Len - 1] = Min (F_Min[St][St + Len - 1] , F_Max[St][K] * F_Min[K + 1][St + Len - 1]) ;
  					F_Min[St][St + Len - 1] = Min (F_Min[St][St + Len - 1] , F_Min[St][K] * F_Max[K + 1][St + Len - 1]) ;
  					//正负得负，取得较小值 
  				}
  			}
  		}
  	}
  	
  	int Ans = -INF ;
  	for (int i = 1 ; i <= N; ++ i) Ans = Max (Ans , F_Max[i][i + N - 1]) ;
  	printf ("%d\n" , Ans) ;
  	for (int i = 1 ; i <= N; ++ i) if (Ans == F_Max[i][i + N - 1]) printf ("%d " , i) ;
  	fclose (stdin) , fclose (stdout) ;
  	return 0 ;
  }
  

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