线性基的技巧

线性基的技巧

写的比较简单,自用

正常的线性空间的运算符是\(+,\cdot\),而算法竞赛中我们可以\(\mathrm{XOR},\cdot\),并把二进制数看成一个k维向量来解决问题。
线性基,就是一组线性无关的向量

线性基的构建

void insert(ll v){
    for(int i=maxlogv;i>=0;i--){
        if(v&(1ll<<i)){ 
            if(p[i]) v^=p[i];
            else{
                p[i]=v;
                break;
            }
        } 
    }

这实际上是一个高斯消元的过程。
每次加入一个二进制数,相当于对新一行消元,对于这一行的第\(i\)个变量,我们和第\(i\)行异或,就可以把它消掉。这样构造出来的是一个上三角矩阵。不过矩阵经过了压缩,把某些不同行的1压到了一起。

void insert(ll v){
    for(int i=maxlogv;i>=0;i--){
        if(v&(1ll<<i)){ 
            if(p[i]) v^=p[i];
            else{
                p[i]=v;
                //若维护成对角矩阵,就这样加上2行 
                for(int k=i-1;k>=0;k--) if(p[k]&&(p[i]&(1ll<<k))) p[i]^=p[k];//先用下面的行消自己，再用自己消上面的行 
                for(int k=i+1;k<=maxlogv;k++) if(p[k]&(1ll<<i)) p[k]^=p[i]; 
                break;
            }
        } 
    }
} 

这是线性基的另一种写法。这种写法消出的是一个对角矩阵。这种写法在求第\(k\)大时有用

求最大/最小异或和

从高位往低位贪心。若是上三角矩阵,可能会把后面原有的1消掉,所以要取max.若是对角矩阵,第\(i\)位是第一次为1,直接取

ll query(){
    ll ans=0;
    //若维护成对角矩阵,直接xor即可,否则需要取max 
    for(int i=maxlogv;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];
    return ans;
}

如果要询问数\(x\)与集合中的数的异或最值,令ans=x即可

求第k小异或和

消成上三角矩阵后,假设基中有\(m\)个元素,那么能构造出的异或和有\(2^m\)种.把基中元素从小到大排序,再运用二进制分组的思想,如果k的第\(i\)位为1，就加上\(p_i\),这样就可以得到第\(k\)大。注意如果插入了元素0,0不会出现在线性基中,需要特判.

//http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3949
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxlogv 50
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,q;
void bprint(int x){
    for(int i=5;i>=0;i--){
        if(x&(1ll<<i)) putchar('1');
        else putchar('0');
    }
}
struct linear{
    ll p[maxlogv+5]; 
    bool hasZero;
    vector<int>vec;
    void clear(){
        vec.clear();
        hasZero=0;
        memset(p,0,sizeof(p));
    }
    void insert(ll v){
        for(int i=maxlogv;i>=0;i--){
            if(v&(1ll<<i)){ 
                if(p[i]) v^=p[i];
                else{
                    p[i]=v;
                    //若维护成对角矩阵,就这样加上2行 
                    for(int k=i-1;k>=0;k--) if(p[k]&&(p[i]&(1ll<<k))) p[i]^=p[k];//先用下面的行消自己，再用自己消上面的行 
                    for(int k=i+1;k<=maxlogv;k++) if(p[k]&(1ll<<i)) p[k]^=p[i]; 
                    
                    break;
                }
            } 
        }
        if(v==0) hasZero=1;
    } 
    void build(){
        for(int i=0;i<=maxlogv;i++) if(p[i]) vec.push_back(p[i]);
    }
    ll kth(ll k){//第k小xor和 
        ll ans=0;
        if(hasZero) k--;
        if(k>=(1ll<<(int)vec.size())) return -1;
        for(int i=0;i<(int)vec.size();i++) if(k&(1ll<<i)) ans^=vec[i];
        return ans;
    } 
}T; 

int main(){
    ll x;int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int cas=1;cas<=t;cas++){
        T.clear(); 
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&x);
            T.insert(x);
        }
        printf("Case #%d:\n",cas);
        scanf("%d",&q);
        T.build();
        for(int i=1;i<=q;i++){
            scanf("%lld",&x);
            printf("%lld\n",T.kth(x));
        }
    }

}

线性基上的贪心

给每个元素一个权值\(w_x\),求一个权值和最大/最小的基。可以贪心,按\(w\)排序后依次插入即可。根据拟阵可以证明最优性

线性基在图论问题上的应用