2017年08包子凑数动态规划

包子问题(动态规划)

1、题目

标题：包子凑数

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，

分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入
----
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出
----
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

例如，
输入：
2
4
5

程序应该输出：
6

再例如，
输入：
2
4
6

程序应该输出：
INF

样例解释：
对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

题目解析：

当某种包子数被配上时，那么它的下面的第 每笼的个数 都可以被凑出来，比如说只有 4 5 两个容量的包子，第4 可以被凑， 4 + 4 可以 ，4 + 5 也可以，5 可以 5 + 4 可以，5 + 5也可以，以此类推

注意：当容量数的最大公约数不为1时，说明他们线性相关，则不是极大线性无关组，肯定由无限个表示不出的数

3、代码

  static int n, g ;
    static int[] a = new int[101];
    static boolean[] f = new boolean[10000];

    static int gcd(int a, int b) {
        if (b == 0) return a;
        return gcd(b, a % b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        f[0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            a[i] = sc.nextInt();
            if (i == 1) {
                g = a[1];
            }else {
                g = gcd(a[i], g);
            }
        }

        if (g != 1) {   //如果最大公约数不是1，则说明所有的数都能通过整数乘法变换成最大的那个数
            System.out.println("INF");
            return;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            //完全背包的递推
            for (int j = 0; j < 10000 - a[i]; ++j) {    //这里必须是 10000 - a[i] 为的是下面的索引不越界
                if (f[j]) {
                    f[j + a[i]] = true;
                }
            }
        }
        //统计个数
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < 10000; ++i) {
            if (!f[i]) {
                ans++;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }

总结： 10000 - a[i] 是让每个都能被遍历，并且防止数组越界，正好每个f[j] 为true的值都把每个 a[i] 的值加一遍！