超分辨率重建——病态问题

    都说超分辨率重建是个病态反问题，什么是病态问题呢？

    病态问题：是指输出结果对输入数据非常敏感的数值分析问题. 对一个数值分析问题, 如果输入数据有微小误差,引起问题解的相对误差很大, 那么称这个问题为病态问题. 一般而言, 病态问题是指条件数很大的数值分析问题.

   病态方程组举例：

              x₁+2x₂=7                                      而  x₁+2x₂=7

              2x₁-x₂=-1                                           2x₁-1.0009x₂=-1.003

              解为x₁=1，x₂=3；                         解为x₁=0.99988，x₂=3.00006                 这两个方程就为良性方程， 系数微小变化，输出差距不大

 

              2x₁+6x₂=8                                     而 2x₁+6x₂=8

              2x₁+6.00001x₂=8.00001                     2x₁+5.9999x₂=8.00002

              解为x₁=1，x₂=1；                               解为x₁=10，x₂=-2                              这两个方程就为病态性方程， 系数微小变化，输出差距很大

             

对于超分辨率重建问题，低分辨率图像的成像模型大致如下：

               

数学模型为：                                                           

 

        高分辨率图像HR会受到多种输入条件的影响，比如运动Mk（旋转、平移、缩放等）、成像模糊Bk（传感器模糊、运动模糊、光学模糊等，常被模型化成各种点扩散函数PSF）、下采样矩阵D、nk加性的各种噪声，这些条件的变化将会严重影响低分辨率图像的结果，所以成像过程是个病态问题，而超分辨率重建是个病态反问题。