工数上笔记

工数分析上

第五章 常微分方程

一阶微分方程

• 可分离变量的微分方程:\(\cfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)

\[\int \cfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx \]

• 齐次方程:\(\cfrac{dy}{dx}=f(\cfrac{y}{x})\)

\[设u=\frac{y}{x} \]

\[\cfrac{dy}{dx}=u+x\cfrac{du}{dx}~~=>\small{可分离变量} \]

• \(\cfrac{dy}{dx}=f(\cfrac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1})\)

\[若\cfrac{a_1}{a}=\cfrac{b_1}{b}=\lambda \]

\[设u=ax+by \]

\[\cfrac{du}{dx}=a+bf(\frac{u+c}{\lambda u+c_1})~~~=>\small可分离变量 \]

\[若\cfrac{a_1}{a}\neq\frac{b_1}{b} \]

\[\left\{ \begin{aligned} ax+by+c=0\\ a_1x+b_1y+c_1=0\end{aligned} \right.\]

\[\small求解得x=x_0,y=y_0 \]

\[设\xi=x-x_0,\eta=y-y_0,\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{d\eta}{d\xi} \]

\[\cfrac{d\eta}{d\xi}=f(\cfrac{a\xi+b\eta}{a_1\xi+b_1\eta})~~=>\small 齐次方程 \]

• 一阶线性微分方程:\(\cfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)

\[y=e^{-\int P(x)dx}[C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx] \]

• 伯努利方程：\(\cfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\neq0,1)\)

\[\small两边同除y^n,得y^{-n}\cfrac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \]

\[\cfrac{1}{1-n}\cfrac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \]

\[设u=y^{1-n} \]

\[\cfrac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)~~=>\small一阶线性方程 \]

可降阶的高阶微分方程

• \(y^{(n)}=f(x)\)，多次积分
• \(y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)\)

\[设y^\prime=p(x),y^{\prime\prime}=p^\prime(x) \]

\[p^\prime=f(x,p)~~=>\small 一阶微分方程 \]

• \(y^{\prime\prime}=f(y,y^\prime)\)

\[设y^\prime=p(y) \]

\[p\frac{dp}{dy}=f(y,p) \]

线性微分方程解的结构【线性代数相关】

• 满秩齐次方程只有零解
• 不满秩齐次方程有通解
• 满秩非齐次方程有一解
• 不满秩非齐次方程解为齐次通解加上特解

二阶线性微分方程的解法

• 已知二阶线性齐次方程的一个非零特解，求其通解
  • 已知\(y=y_1(x)\)是下列方程的解，求\(y_2(x)\)

\[y'' + p(x)y' + q(x)y=0 \]

\[y_{2}=y_{1}\int\frac{\mathrm{e}^{-\int\rho(x)\mathrm{d}x}}{y_{1}^{2}}\mathrm{d}x. \]

• 已知线性齐次方程的通解，求二阶线性非齐次方程特解
  • 已知方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]

• 齐次方程通解：

\[\overline{y}=C_1y_1+C_2y_2 \]

• 记\(v(y_1,y_2)=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\ y_1'&y_2'\end{vmatrix}=y_1y_2'-y_1'y_2\)
• 可得

\[\boxed{C_{1}(x)=-\int\frac{y_{2}f(x)}{v(y_{1},y_{2})}\mathrm{d}x,C_{2}(x)=\int\frac{y_{1}f(x)}{v(y_{1},y_{2})}\mathrm{d}x,} \]

• 可得特解

\[y^*=-y_1\int\frac{y_2f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x+y_2\int\frac{y_1f(x)}{v(y_1,{y_2})}\mathrm{d}x. \]

• 得到通解

\[y^*=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\frac{y_2f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x+y_2\int\frac{y_1f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x \]

常系数线性齐次微分方程

• 设二阶常系数线性齐次微分方程

\[y'' + a_1y' + a_2y = 0 \]

• 有特征方程：

\[r^2+a_1r+a_2=0 \]

• 若特征方程的根是两个不相等的实根\(r_1\)和\(r_2\)

\[y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x} \]

• 若特征方程的根是两个相等的实根\(r_1=r_2\)

\[y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2x\mathrm{e}^{r_1x} \]

• 若特征方程的根是一对共轭复根

\[r_1=\alpha+\mathrm{i}\beta,\quad r_2=\alpha-\mathrm{i}\beta \]

\[y=C_1\mathrm{e}^{ax}\cos\beta x+C_2\mathrm{e}^{ax}\sin\beta x \]

常系数线性非齐次微分方程(对多阶同样适用)

• 设常系数线性非齐次方程为
  \[y'' + a_1y' + a_2y = f(x) \]

• 自由项为\(f\left(x\right)=P_m\left(x\right)\mathrm{e}^{\lambda x}\)时
  • 有特解
  \[y^* = x^k Q_m(x)\mathrm{e}^{\lambda x} \]
  • \(P_m(x)\)为与\(Q_m(x)\)次数相同的多项式
  • 当\(\lambda\)不是齐次方程特征根时\(k=0\)，是单重特征根时\(k=1\)，双重特征根\(k=2\)
• 自由项为\(f\left(x\right)=P_m\left(x\right)\mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x\)或\(f\left(x\right)=P_m\left(x\right)\mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x\)时
  • 有特解
  \[y^{*}=x^{k}\mathrm{e}^{ax}\big[\begin{array}{c}Q_{m}(x)\text{cos}\beta x+R_{m}(x)\text{sin}\beta x\end{array}\big] \]
  • \(Q_m(x)\)和\(R_m(x)\)都是m次待定多项式
  • 当\(\alpha+i\beta\)是特征根时\(k=0\),不是则\(k=1\)
• 欧拉方程（特殊变系数方程）

\[x"y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x) \]

• 做代换\(t=lnx\)

\[\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\text{d}y}{\text{d}t},\quad\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=-\frac{1}{x^2}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{1}{x^2}\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2},... \]

• 可得非齐次方程