CF1844G Tree Weights

CF1844G Tree Weights

神仙题。

思路

设 \(x_i\) 为 \(dis(1,i)\)，有关于 \(d_i\) 的等式 \(d_i=x_i+x_{i+1}-2\times x_{lca(i,i+1)}\)。

移项得到，\(x_{i+1}=d_i-x_{i}+2\times x_{lca(i,i+1)}\)。

注意力惊人，发现等式右边带一个 \(2\)。

于是 \(x_{i+1} \equiv d_i-x_{i} \mod 2\)。

这样我们求出了 \(x_{i+1}\) 的最低位。

能不能通过类似递推的方式求出 \(x_i\) 的高位以此复原 \(x_i\) 呢？

基于一个数第 \(k\) 位的结果只与小于等于 \(k\) 的位有关。

注意到 \(2\times x_{lca(i,i+1)}\)，相当于每次可以用 \(x_{lca(i,i+1)}\) 的 \(k-1\) 位的结果求 \(x_{i+1}\) 第 \(k\) 位的结果，而等式中其他项都存在第 \(k\) 位，于是便可以求出 \(x_{i+1}\) 第 \(k\) 位的结果（顺序递推，\(x_i\) 的第 \(k\) 位已经求出）。

特判 \(x_i\) 小于等于父亲，以及无法复原 \(d\) 的情况。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

const int maxn=1e5+5;

int n,cok;
int LCA[maxn],st[maxn][20],dfn[maxn],u[maxn],v[maxn];

ll mod=2;
ll d[maxn],x[maxn],tmp[maxn];

vector<int>E[maxn];

inline void dfs(int u,int f)
{
    dfn[u]=++cok;st[cok][0]=f;
    for(auto v:E[u])
    {
        if(v==f) continue;
        dfs(v,u);
    }
}
inline int Min(int u,int v){return dfn[u]<dfn[v]?u:v;}
inline void init()
{
    for(int i=1;i<=20;i++) for(int j=1;j<=(n-(1<<i)+1);j++)
        st[j][i]=Min(st[j][i-1],st[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}
inline int Lca(int u,int v)
{
    if(u==v) return u;
    if(dfn[u]>dfn[v]) swap(u,v);
    int l=dfn[u]+1,r=dfn[v],k=log2(r-l+1);
    return Min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
        E[u[i]].emplace_back(v[i]),E[v[i]].emplace_back(u[i]);
    }
    dfs(1,0);
    init();
    for(int i=1;i<n;i++) LCA[i]=Lca(i,i+1);
    for(int i=1;i<n;i++) scanf("%lld",&d[i]);
    for(mod=2;mod<=(1ll<<60);mod<<=1)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=x[i];
        for(int i=1;i<n;i++) x[i+1]=(d[i]%mod+2*tmp[LCA[i]]%mod-x[i]+mod)%mod;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++) if(x[st[dfn[i]][0]]>=x[i]) {puts("-1");return 0;}
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(d[i]!=x[i]+x[i+1]-2*x[LCA[i]]) {puts("-1");return 0;}
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(dfn[u[i]]>dfn[v[i]]) swap(u[i],v[i]);
        printf("%lld\n",x[v[i]]-x[u[i]]);
    }
}

参考资料

CF1844G Tree Weights - Alex_Wei 的洛谷专栏