随笔分类 - 数学
摘要：命运的X cjx 生成函数强。 思路 首先，设 \(f_i\) 为添加第 \(i\) 项后满足条件的概率，\(g_i\) 任意添加至第 \(i\) 项的概率。 我们要求的答案： \[ans=\sum_{i=0} i\times f_i \]我们把 \(f\) 放入生成函数中： \[F=\sum_{i
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摘要：多项式化简技巧 多项式部分 省流： 1.\(1^2+2^2+···+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) 2.若\(n\)为奇数，\(x^n+1=(x+1)(x^{n-1}*(-1)^{n-1}+x^{n-2}*(-1)^{n-2}+···+x*(-1)+1)\) 3.等比数列
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摘要：ARC134C The Majority link：【ARC134C】 The Majority 小清新数学题。（反正我做不出来） 简要题意 有\(K\)个箱子，编号为\(1\)到\(K\)的箱子。起初，所有箱子都是空的。 史努克有一些球，球上写着\(1\)到\(N\)的整数。在这些球中，有\(a_
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摘要：ARC121E Directed Tree 有意思的容斥加树 dp。 思路 \(a_i\) 可以是除去 \(i\) 祖先之外的所有点，考虑 \(a_i\) 的逆排列。 每一个 \(i\) 在正排列里都可以被不是自己子树内的点选择，那么逆排列里 \(i\) 不可以放自己子树内的点（不包括自己）。 现在
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摘要：2023NOIP A层联测32 T3 sakuya 虚伪的期望，彬彬赛时都能 A 的数学题。 思路 考虑算出来总的花费，再除以 \(m!\) 求期望。 对于某个排列的花费为：\(\sum\limits_{i=2}^m dis(a_{i-1},a_i)\)。 但考虑一下，这个式子重要吗？ 我们的目的是
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摘要：卢卡斯定理/Lucas 定理 引入 求 \(C_{n+m}^n \mod p\)。 \(n,m,p \leq 10^5\)。 如果直接用阶乘求，可能在阶乘过程中出现了 \(p\)，而最后的结果没有出现 \(p\)，导致错误。 有两种解决方法： 1.求组合数时提前把 \(p\) 的质因子除掉。 2.L
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摘要：2023NOIP A层联测26 T2 competition tjm 的做法，很抽象。 考场思路 考虑每道题被做过多少次肯定不现实，那么考虑每一道题有多少次没有做出来。 假设某一次可以做出来题 \(x\) 的人是 \(i\)，而 \(i\) 下一个人可以做出这道题的人是 \(j\)，于是题 \(x\
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摘要：2023NOIP A层联测25 T2 游戏 优秀且新颖的期望题。 思路 分析问题，由于双方都是最优策略，所以可以说学生知道老师会选择那些教室设置概率（概率设置好就不能改变），老师也知道学生会怎样选择教室（不是知道一定会去那个）。 设老师选择的集合是 \(S\)。 那么老师在学生不清空的情况下，老师的
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摘要：2023NOIP A层联测23 T2 涂鸦 模拟赛一道博弈，剩下仨全期望，我： 思路 其实我也不是很会 考虑设 \(f_{mst}\)，为 \(n*m\) 个格被压成一个二进制 \(mst\)，转移到最终状态的期望花费。 可以列出方程 \[f_{mst}=\frac{\sum f_j + w}{2n
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摘要：2023NOIP A层联测22 差后队列 挺有意思的期望题，题解做法应该是 DP，但是我又双叒写出奇怪的做法…… 思路 除去最大值外的元素个数的倒数就是这一轮取到某个数的概率，而最大值是特殊的情况，在被替代之前或作为最后一个数被弹出之前，不参与计算。 对于操作 0 的输出和操作 1 的输出分开处理。
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摘要：卡特兰数 Catalan 数列 引入 有一个无限大的栈，进栈的顺序为 \(1,2,\cdots,n\)，求有多少种不同的出栈序列。 设 \(h[n]\) 为 \(n\) 个数的出栈序列方案数。 可以这样想 \(k\) 是最后一个出栈的数，那么比 \(k\) 早进栈早出栈的有 \(k-1\) 个，方案
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