二分查找法

减半再减半，减到剩一个——如何利用有序数列的特性

     记得之前有档综艺节目“幸运52”，主持人让选手规定时间内猜商品的价格，针对选手的报价主持人提示“高了”或者“低了”，直到价格猜对就可以获得此商品。比如猜电视机的价格，选手出价8000，主持人回答“高了“，选手再出价4000，回答”低了“……6000——高了——5000——高了——4500，对了！乍一看这完全是碰运气，但其中却蕴含了“二分查找”的思想。

    我们把这个场景转化为一个编程问题：如何从一组有序的整数（物品的价格区间）里找到某个数（正确的价格）的位置。
例如数组[2 3 6 8 9 10 15]，从中找到10的位置。我们当然可以从头找到尾，相等就是找到了，没有相等的就是没找到。毕竟就这几个数，即使挨个查找也很快。但是数量较多时，1万个，100万个……就需要考虑效率问题。“从头找到尾”是遍历的方法，忽略了数组“有序的”这个特性。当我们从数组中随便取一个数a（排除头尾元素），它的左侧必定小于它，右侧必定大于它（这点类似之前介绍的“快速排序”中的基准值的概念）。如果选的是中间的元素a，去除恰好等于要查询的数的情况，如果比a大，则从右侧区间再取一半，再取这个区间的中间值来比较大小，以此类推，每次减半，直到比较完最后一个中间值。这就是“二分查找法”，也叫做“折半查找法”（之前介绍“归并排序”时，对数组的拆分就是不断从中间拆，有效降低了栈的深度）。我们引用一下当时归并算法提到的“对数”概念，它本身就是不断除2。

 

可以看到折半是很“恐怖”的，即使一亿个元素，仅需27次就能分割完毕。

我们看个具体例子，代码如下：

import java.util.Arrays;

public class BinarySearch {
    public static void main(String[] args) {
        int[] numbers = {12, 13, 16, 18, 19, 20, 25, 26, 29, 32};
        int target = 25;
        System.out.println(Arrays.toString(numbers) + " " + target);
        System.out.println(target + " position " + search(numbers, target));
    }

    private static int search(int[] numbers, int target) {
        int start = 0;
        int end = numbers.length - 1;
        int mid = 0;
        int splitTimes = 0;
        while (true) {
            splitTimes++;
            mid = start + (end - start) / 2;
            if (numbers[mid] == target) {
                System.out.println(splitTimes + " " + numbers[mid] + "=" + target + " start " + start + " end " + end + " mid " + mid);
                System.out.println("splitTimes " + splitTimes);
                return mid;
            } else if (target < numbers[mid]) {
                System.out.println(splitTimes + " " + numbers[mid] + ">" + target + " start " + start + " end " + end + " mid " + mid);
                end = mid - 1;
            } else {
                System.out.println(splitTimes + " " + numbers[mid] + "<" + target + " start " + start + " end " + end + " mid " + mid);
                start = mid + 1;
            }
            if (start > end) {
                System.out.println("splitTimes " + splitTimes);
                return -1;
            }
        }
    }
}

 输出说明

[12, 13, 16, 18, 19, 20, 25, 26, 29, 32] 25
1 19<25 start 0 end 9 mid 4 #第1次取中间的19，小于25，到右侧区间查找
2 26>25 start 5 end 9 mid 7 #第2次取中间的26，大于25，到左侧区间查找
3 20<25 start 5 end 6 mid 5 #第3次取中间的20，小于25，到右侧区间查找
4 25=25 start 6 end 6 mid 6 #第4次取中间的25，找到了
splitTimes 4
25 position 6

 查找示例图

再说下算法中的注意事项

一 循环结束条件是start大于end，等于的时候相当于分割后只剩一个元素，还没参与比较，必然不能退出。大于说明是左侧位置超过了右侧位置，说明已经处理完毕，这时才能退出循环。

二 end的初始值，应该为数组长度减一，如果不减一，相当于结束位置多了一位，当要查询的数大于数组最大元素时，必然会到达这个多出的位置，从而导致数组越界。

三 start end的更新，计算完中间位置mid，比较大小后就可以跳过这个位置了，因此下一个start或end的所属区间必定不包含这个mid。如果查询的数大于mid对应值，则下一个区间必然位于右侧，开始位置start就等于mid+1，如果小于mid对应的值，则下一个区间必然位于左侧，结束位置end就等于mid-1。

只要明白了这三个注意事项，就不会有问题。

 

扩展思考

1 mid的计算方法 start+(end-start)/2、end-(end-start)/2、(start+end)/2 这三种有啥区别？

2 如果有序数组存在重复元素，有没有什么影响？如何找到重复元素的第一个位置或者最后一个位置？

3 查找IP归属地能否用到二分查找？