原创题

19.（17分）有一个 \(n\) 面的骰子，每个面分别标有整数 \(1,2,…,n\)，投掷时每个面向上的概率均为 \(\frac1n\)。进行如下游戏：初始时令 \(x=0\)，重复投掷骰子，每次投掷后，记朝上的点数为 \(y\)，若 \(y>x\)，则获得 \(y\) 分，并令 \(x=y\)；若 \(y≤x\)，则停止游戏。设游戏停止时获得的总积分为 \(X\)，\(X\) 的期望为 \(E_n\)。

（1）求 \(E(2)、E(3)\)

（2）① 记一局游戏投出 \(k\) 向上并且得分的概率为 \(p_k\)，求 \(p_k\)（用 \(n,k\) 表示）

② 求\(E_n\)

（3）将游戏过程中的“获得 \(y\) 分”改为“获得 \(a_y\) 分”，其中\(\{a_n\}\) 为 \(1\) 至 \(n\) 的一个排列，试证明：\(\frac{E_nmax}{E_nmin}>(1+\frac1n)^n-2\)