hdu 5396 Expression(区间DP+组合数)
题目链接：hdu 5396 Expression
题目大意：
给你一个n然后是n个数。 然后是n-1个操作符，操作符是插入在两个数字之间的。 由于你不同的运算顺序，会产生不同的结果。
比如：
1 + 1 * 2 有两种 （1+1）*2 或者 1+（1*2）
1 * 2 * 3 也是两种即使结果是一样的 （1*2）*3 或者 1*（2*3）
问这所有不同的组合加起来的和对 1e9+7取余是多少。
这个其实就是区间DP了
dp[i][j] 代表的是区间 i 到 j 的和
枚举dp[i][j] 之间所有的子区间
假如是乘法：
t = dp[i][k] * dp[k+1][j]；
这个其实可以直接算出来的：
假设我们dp[i][k] 里面所有的值是 （x1+x2+x3...xn） == dp[i][k]
假设我们dp[k+1][j] 里面所有的值是 （y1+y2+y3...yn） == dp[k+1][j]
dp[i][k] * dp[k+1][j] == (x1+x2+...xn) * (y1+y2+y3...yn) == x1*y1+x1y*y2......xn*yn 其实和所有不同结果相乘出来是一样的
假如是加法或者减法：
我们表示阶乘 i为A[i].
t = dp[i][k]*A[j-k-1] + dp[k+1][j]*A[k-i];
其实这里我们想一下。区间 dp[i][k] 需要加上多少次？
我们需要加的次数就是另一半区间的所有组合数，另一半区间有多少种组合方式我们就要加上多少个。
因为他们之间可以相互组成不同的种类。同理另一半也是。
最后的时候我们要乘上一个组合数。
假设组合数为C[i][j].
为什么要乘组合数：
因为 假如我们k 分割了两个运算式子 【 1+（2*3） 】 + 【 1+（3*4） 】
虽然说我们左右两边的式子运算顺序已经确定了，但是我们总的运算顺序还是不确定的， 比如我们算完（2*3） 直接去算（3*4）也是不同的结果
dp[i][j] = dp[i][j] + t*C[j-i-1][k-i]
这个其实就是从总的运算符(j-i-1)（减去了第k个的运算符）个中选取(k-i)个进行运算。
因为我们选取数达到 k-i的时候，另外我们还需要保持左右两边运算的相对顺序。
就比如说：左边有a 个运算符， 右边有b个运算符。
我们从 a+b个位置中选取 a位置个放a个的运算符。其余的只能放另一边的的运算符了。因为我们左右两边的相对顺序是不变的。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 3 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 7 const int N=107,P=1e9+7; 8 ll c[N][N],J[N],dp[N][N],t,n; 9 char op[N]; 10 void Init() 11 { 12 for(int i=0;i<=100;i++) 13 { 14 c[i][0]=c[i][i]=1; 15 for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P; 16 } 17 J[0]=1; 18 F(i,1,100)J[i]=(J[i-1]*i)%P; 19 } 20 21 int main(){ 22 Init(); 23 while(cin>>n) 24 { 25 mst(dp,0); 26 F(i,1,n)cin>>dp[i][i]; 27 scanf("%s",op+1); 28 F(l,2,n)F(i,1,n-l+1) 29 { 30 int j=i+l-1; 31 F(k,i,j-1) 32 { 33 if(op[k]=='*')t=(dp[i][k]*dp[k+1][j])%P; 34 else if(op[k]=='+')t=(dp[i][k]*J[j-k-1]+dp[k+1][j]*J[k-i])%P; 35 else t=(dp[i][k]*J[j-k-1]-dp[k+1][j]*J[k-i])%P; 36 dp[i][j]=(dp[i][j]+t*c[j-i-1][k-i])%P; 37 } 38 } 39 cout<<(dp[1][n]+P)%P<<endl; 40 } 41 return 0; 42 }
