动态规划

1. 连续子数组的最大和

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

 

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

作者：Krahets
链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/59gq9c/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

解题思路：此题用动态规划求解。 可用状态转移公式 f(i) = f(i-1) + nums[i]。 记录下f(i)的最大值即为子数组的最大值。

 

class Solution {

    public int maxSubArray(int[] nums) {

        int maxSum = nums[0];

        int pre = 0;

        for(int num : nums) {

            pre = Math.max(num, pre+num);

            maxSum = Math.max(maxSum, pre);

        }

        return maxSum;

    }

}

 

2.  把数字翻译成字符串

给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 “a” ，1 翻译成 “b”，……，11 翻译成 “l”，……，25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。

 

示例 1:

输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译，分别是"bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"

作者：Krahets
链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/99wd55/
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解题思路：此题仔细观察和爬楼梯类似，一次可以爬1级或2级。但是爬2级需要条件符合，数字在10-25才能爬2级。

class Solution {

    public int translateNum(int num) {

        String str = String.valueOf(num);

        int a = 1, b = 1;

        for(int i = 2; i <= str.length(); i++) {

            String temp = str.substring(i-2, i);

            int val = Integer.valueOf(temp);

            int c = 0;

            if(val >= 10 && val <= 25) {

                c = a + b;

            } else {

                c = b;

            }

            a = b;

            b = c;

        }

        return b;

    }

}

 

3. 礼物的最大价值

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

 

示例 1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

作者：Krahets
链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/5vokvr/
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解题思路：从题意可以推导出，f(x,y) = f(x, y) + max(f(x-1，y) + f(x,y-1). 第一行和第一列只有一个方向可以先计算出来。

class Solution {

    public int maxValue(int[][] grid) {

        int row = grid.length - 1;

        int col = grid[0].length - 1;

        

        for(int i = 1; i <= col; i++) {

            grid[0][i] += grid[0][i-1];

        }

        for(int k = 1; k <= row; k++) {

            grid[k][0] += grid[k-1][0];

        }

        for(int i = 1; i <= row; i++) {

            for(int j = 1; j <= col; j++) {

                grid[i][j] += Math.max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);

            }

        }

        return grid[row][col];

    }

}

 

 

4. 丑数

我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

 

解题思路：丑数的递推性质： 丑数只包含因子 2, 3, 5 ，因此有 “丑数 == 某较小丑数 × 某因子”。

 

示例:

输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。
说明:  

1 是丑数。
n 不超过1690。

作者：Krahets
链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/9h3im5/
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class Solution {

    public int nthUglyNumber(int n) {

        if(n < 7) {

            return n;

        }

        int[] dp = new int[n];

        dp[0] = 1;

        int a =0, b = 0, c = 0;

        for(int i = 1; i < n; i++) {

            int n2 = dp[a] * 2;

            int n3 = dp[b] * 3;

            int n5 = dp[c] * 5;

            int res = Math.min(Math.min(n2, n3),n5);

            dp[i] = res;

            if(res == n2) a++;

            if(res == n3) b++;

            if(res == n5) c++;

        }

        return dp[n - 1];     

    } 

}

 

5.  股票的最大利润

 

假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

 

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。
示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

作者：Krahets
链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/58nn7r/
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解题思路：找到股票的最低点，然后找到和最低点的差价最大的即为最大的利润。

class Solution {

    public int maxProfit(int[] prices) {

        int minValue = Integer.MAX_VALUE;

        int maxProfitVal = 0;

        for(int value : prices) {

            minValue = Math.min(value, minValue);

            maxProfitVal = Math.max(maxProfitVal, value - minValue);

        }

        return maxProfitVal;

    }

}

 

 

 

戳气球
有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

 

示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

作者：力扣 (LeetCode)
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class Solution {

    public int maxCoins(int[] nums) {

        int n = nums.length + 2;

        int[][] dp = new int[n][n];

        int[] val = new int[n];

        val[0] = val[n-1] = 1;

        for(int i = 1; i < n -1; i++) {

            val[i] = nums[i-1];

        }

        for(int start = n - 3; start >= 0; start--) {

            for(int end = start + 2; end < n; end++) {

                for(int i = start + 1; i < end; i++) {

                    int sum = dp[start][i] + dp[i][end] + val[start]*val[i]*val[end];

                    dp[start][end] = Math.max(dp[start][end], sum);

                }

            }

        }

        return dp[0][n-1];

    }

}