【笔记】拉格朗日插值

对于一个 \(n\) 次多项式 \(f(x) = \sum_{k = 0}^n a_kx^k\)，我们只要知道它在 \(n+1\) 个不同点处的取值，就可以进一步解出它的系数

但使用高斯消元法的时间复杂度是 \({\cal O}(n^3)\) 的，如果我们只是想知道这个多项式在某一点 \(x'\) 处的值，希望有复杂度更优的办法

我们希望有这样一组系数 \(\alpha\)，使得：

\[\begin{cases} \alpha_0x_0^0+\alpha_1x_1^0+\cdots+\alpha_nx_n^0 = x'^0\\ \alpha_0x_0^1+\alpha_1x_1^1+\cdots+\alpha_nx_n^0 = x'^1\\ \quad\vdots\qquad\quad\vdots\qquad\ddots\qquad\!\vdots\quad=\ \vdots\\ \alpha_0x_0^n+\alpha_1x_1^n+\cdots+\alpha_nx_n^n = x'^n\\ \end{cases}\tag{1} \]

换句话说：

\[\begin{bmatrix} x_0^0&x_1^0&\cdots&x_n^0\\ x_0^1&x_1^1&\cdots&x_n^1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_0^n&x_1^n&\cdots&x_n^n\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x'_0\\ x'_1\\ \vdots\\ x'_n \end{bmatrix}\tag{2} \]

然后答案就是

\[\sum_{k = 0}^n f(x_k)\alpha_k\tag{3} \]

这个矩阵十分的特殊，它的行列式叫范德蒙德行列式：

\[\det \begin{bmatrix} x_0^0&x_1^0&\cdots&x_n^0\\ x_0^1&x_1^1&\cdots&x_n^1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_0^n&x_1^n&\cdots&x_n^n\\ \end{bmatrix} = \prod_{0 \le i < j \le n}(x_j-x_i)\tag{4} \]

于是我们考虑在式 \((2)\) 前后同乘逆矩阵，就有：

\[\alpha_k = \sum_{j = 0}^n\frac{(-1)^{j+k}A_{j,k}}{\det}x'^j\tag{5} \]

而对范德蒙德行列式第 \(k\) 列展开，是：

\[\sum_{j = 0}^n\frac{(-1)^{j+k}A_{j,k}}{\det}x_k^j \]

那相当于我们 \(x_k\coloneqq x'\) 之后的到了一个新的范德蒙德行列式展开式，它显然只有包含 \(x_k\) 的项是与原来不同的

于是我们得到：

\[\begin{aligned} \alpha_k &= \sum_{j = 0}^n\frac{(-1)^{j+k}A_{j,k}}{\det}x'^j\\ &= \frac{\det_k}{\det}\\ &= \frac{\prod_{i \not= k}(x'-x_i)}{\prod_{i \not= k}(x_k-x_i)} \end{aligned} \]

故答案为：

\[f(x') = \sum_{k = 0}^nf(x_k)\frac{\prod_{i \not= k}(x'-x_i)}{\prod_{i \not= k}(x_k-x_i)} \]

时间复杂度为 \({\cal O}(n^2)\)。