微积分还能这样用！

    如图，半径为R的半球形容器中盛满密度为ρ的液体。现将这些液体全部抽到容器的开口处，一共要克服重力做多少功？（不考虑能量损耗）

    一般来讲，我们会这么做：

解：将半球水平地平均切成n份，当n很大很大很大时，每一份可看作一片很扁很扁很扁的圆柱。设第i份圆柱的半径为r_i，离容器口的距离为h_i，厚度为d，则有：

那么，第i份的体积

第i份的质量

第i份应做的功

∴应该克服重力做的总功

答：————————————。

 

但是，老牛创立了微积分，哪能不用？下面就来看看微积分的魔力吧！

解：如图，把球心放在坐标系原点，在主视图平面上建立直角坐标系：

水平地切下片很薄很薄很薄的薄片，那么，这片薄片可看作很扁很扁很扁的圆柱。

那么，圆柱的厚度为dy，半径为x

∴它的体积

它应提升的高度h=0-y=-y

它应做的功

∵薄片要从最底端累加到最顶端

∴dy从-R累加到0

 

∴克服重力做的总功

这个圆的方程为

那么

所以可得

答：————————————。

 

这就是微积分的神奇之处！！！^ω^