397. Integer Replacement

Given a positive integer n and you can do operations as follow:

1. If n is even, replace n with n/2.
2. If n is odd, you can replace n with either n + 1 or n - 1.

What is the minimum number of replacements needed for n to become 1?

 

Example 1:

Input:
8
Output:
3
Explanation:
8 -> 4 -> 2 -> 1

Example 2:

Input:
7
Output:
4
Explanation:
7 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
or
7 -> 6 -> 3 -> 2 -> 1

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给定一个正整数n，若n是偶数，将其除以2，若n是奇数，可替换为n-1或n+1。求将n转换为1所需的最小次数。

 

分析：

　　这道题乍一看很简单，输入n，当n为偶数就除以2，当n为奇数时就加1或减1，一直循环，直至最后n=1即可。

　　但实际上呢？

　　当n为奇数时，我统一采取减1，提交发现当n=65535时，我的计算结果是30次，而期望得到的是17次！分析发现，当n=65535时，加1变为65536=2¹⁶，所以只需要17次（1次加1，16次除2），而减1的话，n=65534，除2为32767，又是奇数，得再次执行减1，一直执行到最后，就多出了13次。所以当n为奇数时，单纯的减1是不行的。减1不行那就改为加1，但提交的时候发现当n=3时又错了，因为加1后变为4了，再除2次2才会为1，总共3次；而减1的话直接就等于2了，再除1次2就为1，共2次。

　　仔细观察，发现当n+1为4的倍数时（3、7是特例，先不管），执行加1次数会更少，比如15：若加1，15->16->8->4->2->1，共5次；若减1，15->14->7->6->3->2->1，共6次。因为若n+1为4的倍数，则n+1=4k，至少可连续除2次才会为奇数（具体次数视k而定），而n-1=4k-2，执行1次除2就为奇数了，而若得出的奇数不是1，是需要转化为偶数（加减1）再继续的，次数必然会更多。对于n=7的情况，加减1的次数都是一样的，不用特殊对待。特例就剩3了，当n=3时，减1更快。

　　那如何确定n+1会不会是4的倍数呢？我们可以从二进制来看，加1变为4的倍数的数，其最低2位为11，因为已经判断是奇数了，因此当n为奇数时，判断其二进制的倒数第2位是否为1即可，3是特例要特殊处理。

　　最终代码如下：

int integerReplacement(int n)
{
	if (n == 1)
		return 0;
	long long val = n;
	int cnt = 0;
	while (val > 1)
	{
		if (val & 1)
			if ((val & 2) && (val != 3))
				val++;
			else
				val--;
		else
			val >>= 1;
		cnt++;
	}
	return cnt;
}