396. Rotate Function

Given an array of integers A and let n to be its length.

Assume Bk to be an array obtained by rotating the array A k positions clock-wise, we define a "rotation function" F on A as follow:

F(k) = 0 * Bk[0] + 1 * Bk[1] + ... + (n-1) * Bk[n-1].

Calculate the maximum value of F(0), F(1), ..., F(n-1).

Note:
n is guaranteed to be less than 10⁵.

Example:

A = [4, 3, 2, 6]

F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26

So the maximum value of F(0), F(1), F(2), F(3) is F(3) = 26.

 

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给定一个长度为n的数组A，假设B_k是A在第k个位置顺时针旋转后得到的数组，定义旋转函数F(k)=0*B_k[0]+1*B_k[1]+…+(n-1)*B_k[n-1]，计算F(0)、F(1)、…、F(n-1)的最大值。

分析：

　　直接将各个F都计算出来，遍历F，找出最大即可。

代码如下：

int maxRotateFunction(vector<int>& A)
{
	if (A.empty())
		return 0;
	int length = A.size();
	vector<int> vals(length, 0);
	for (int i = 0; i < length; i++)
	{
		for (int j = 0; j < length; j++)
		{
			if (j < i)
				vals[i] += j*A[length - i + j];
			else
				vals[i] += j*A[j - i];
		}
	}
	int rst = INT_MIN;
	for (int i = 0; i < length; i++)
		if (rst < vals[i])
			rst = vals[i];
	return rst;
}

　　提交虽然通过了，但是效率太低了，用了1492ms，分析可知时间复杂度为O(n²)，肯定还有更好的方法。

　　假设A={a₀，a₁，a₂，a₃}，则

　　F(0)=0*a₀+1*a₁+2*a₂+3*a₃

　　F(1)=0*a₃+1*a₀+2*a₁+3*a₂

　　F(2)=0*a₂+1*a₃+2*a₀+3*a₁

　　F(3)=0*a₁+1*a₂+2*a₃+3*a₀

　　设sum为数组A所有元素的和，即sum=a₀+a₁+a₂+a₃，观察F(0)~F(3)可知：

　　F(1)=F(0)+sum-4*a₃

　　F(2)=F(1)+sum-4*a₂

　　F(3)=F(2)+sum-4*a₁

　　归纳可知：F(k)=F(k-1)+sum-n*A(n-k)

计算所有F(0)~F(n-1)，找出最大的即可，时间复杂度为O(n)。

代码如下：

int maxRotateFunction(vector<int>& A)
{
	int len = A.size();
	long long sum = 0, rst = 0;
	for (int i = 0; i < len; i++)
	{
		sum += A[i];
		rst += i*A[i];
	}
	long long maxRst = rst;
	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		rst = rst + sum - len*A[len - i];
		if (maxRst < rst)
			maxRst = rst;
	}
	return (int)maxRst;
}

　　提交发现仅用了10ms！