372. Super Pow

Your task is to calculate a^b mod 1337 where a is a positive integer and b is an extremely large positive integer given in the form of an array.

Example1:

a = 2
b = [3]

Result: 8

Example2:

a = 2
b = [1,0]

Result: 1024

 

计算a^b%1337，其中a、b均为正整数，且b非常大，用一个数组表示每一位数字。

分析：

　　直接a自乘b次，再对1337求余，虽然理论上可行，但是存在两个很大的问题：

1. 溢出；
2. 执行效率太低。

所以必须进行优化。

　　对于1，我们知道a^b%n=(a%n)^b%n，因此，可先将a对1337求余，以将a调整到1337以内，若a是个很大的数，这样做可显著的降低计算的数量级。

　　对于2，因为b是一个非常大的数，我们不能一次一次乘。可通过二分法来优化。

　　此外，由于b以数组的形式表示，我们知道，a^k=（a^k₀*10）*（a^k₁），其中k为一个两位数，k₀为k的10位数，k₁为k的个位数。因此，我们可从b的最高位开始计算（第0个元素），将a^b[0]结果存储在rst中，接着取出b[1]，计算a^b[1]，将rst更新为（rst¹⁰）*（a^b[1]），然后取出b[2]，rst更新为（rst¹⁰）*（a^b[2]），…，如此循环，直至b中最后一个元素。注意在每次更新rst时，可先对1337求余，以降低数量级。

代码如下：

int pow(int x, int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	if (n == 1)
		return x % 1337;
	if (x == 1)
		return 1;
	int rst = 1, tmp = x;
	while (n > 0)
	{
		if (n % 2)
			rst = rst*tmp % 1337;
		tmp = tmp*tmp % 1337;
		n /= 2;
	}
	return rst % 1337;
}

int superPow(int a, vector<int>& b)
{
	int rst = 1;
	a %= 1337;
	for (int i = 0; i < (int)b.size(); i++)
		rst = pow(rst, 10)*pow(a, b[i]) % 1337;
	return rst;
}