368. Largest Divisible Subset

Given a set of distinct positive integers, find the largest subset such that every pair (Si, Sj) of elements in this subset satisfies: Si % Sj = 0 or Sj % Si = 0.

If there are multiple solutions, return any subset is fine.

Example 1:

nums: [1,2,3]

Result: [1,2] (of course, [1,3] will also be ok)

Example 2:

nums: [1,2,4,8]

Result: [1,2,4,8]

 

给定一个数组，其元素均为正整数，找出元素最多的这样一个子数组：该数组任意两个元素（设为S_i，S_j），满足S_i%S_j==0或S_j%S_i==0。若存在多种满足条件的子数组，返回其中任意一个均可。

分析：

　　设原数组有n个元素（s₁，s₂，…，s_n），并记为S_n，设其满足条件的最大子集为R_n。取S_n前n-1个元素构成的子集S_n-1，设其满足条件的最大子集为R_n-1。不难得出，若s_n与R_n-1中任一元素r_i满足s_n%r_i==0或r_i%s_n==0，则R_n=（R_n-1，s_n）；否则R_n=R_n-1，记R_n={R_n-1，s_n}。而R_n-1={R_n-2，s_n-1}，不停迭代，可知R_n={{{{R₁，s₀}，s₁}，…}，s_n}。这是典型的动态规划问题，可用动态规划来求解。为简便起见，先将输入数组S按元素从小到大的顺序排序。遍历数组S，用数组dp来记录每取一个元素时满足条件的最大子集的长度，如dp[i]表示数组S前i个元素构成的子数组的满足条件的最大子数组的长度；另用一个数组prev来记录最大子数组的当前元素的前一个元素的索引，以便后续查找出最大子数组。遍历完成后，遍历数组dp，找出最大子数组的长度maxlen，并记录其最后一个元素的索引idx。最后，根据索引数组prev，从原数组S中取出最大子数组即可。

代码如下：

vector<int> largestDivisibleSubset(vector<int>& nums)
{
	vector<int> rst;
	if (nums.empty())
		return rst;
	int cnt = nums.size();
	vector<int> dp(cnt, 0);
	vector<int> prev(cnt, 0);
	int maxlen = 0, idx = 0;
	sort(nums.begin(), nums.end());
	for (int i = 1; i < cnt; i++)
	{
		for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
		{
			if (nums[i] % nums[j] == 0 && dp[i] < dp[j] + 1)
			{
				dp[i] = dp[j] + 1;
				prev[i] = j;
			}
		}
	}
	for (int i = 0; i < cnt; i++)
	{
		if (maxlen < dp[i])
		{
			maxlen = dp[i];
			idx = i;
		}
	}
	for (int i = idx; i >= 0, maxlen >= 0;)
	{
		rst.push_back(nums[i]);
		i = prev[i];
		maxlen--;
	}
	sort(rst.begin(), rst.end());
	return rst;
}