367. Valid Perfect Square

Given a positive integer num, write a function which returns True if num is a perfect square else False.

Note: Do not use any built-in library function such as sqrt.

Example 1:

Input: 16
Returns: True

Example 2:

Input: 14
Returns: False

给定一个正数，判断其是否是完全平方数，要求不用sqrt。

这道题比较简单，问题是效率。

法一：从1枚举到num/2，虽然肯定是正确的，但是效率太低了通不过。

代码如下：

bool isPerfectSquare(int num)
{
	if (num == 1)
		return true;
	for (int i = 0; i <= num / 2; i++)
	{
		int tmp = i*i;
		if (tmp == num)
			return true;
		if (tmp > num)
			break;
	}
	return false;
}　　

法二：法一效率低是因为枚举的范围太广了，输入num很小时还好，num很大时，比如INT_MAX时，简直是灾难！可考虑如何缩小这个范围。对于[1，num]之间的任一个数k₁，若k₁²>num，显示[k₁，num]之间的数的平方都会大于num，不需考虑；若k₂²<num，显然[1，k₂]之间的数的平方都会小于num，也不需要考虑。若num是完全平方数，其根必然处于（k₁，k₂）这个区间。如果能快速确定这个区间，并使这个区间的范围尽可能小，执行效率就能明显得到改善。在此我们可以考虑首先取num的一半，即k=num/2，若k²>num，则k缩小一倍，即k/=2，一直到k²<num，若num是完全平方数，则其根在（k，2k）范围内。此方法可通过。

代码如下：

bool isPerfectSquare(int num)
{
	if (num == 1)
		return true;
	long long k = num / 2, val = 0;
	while (true)
	{
		val = k*k;
		if (val == num)
			return true;
		if (val < num)
			break;
		k /= 2;
	}
	for (long long i = k + 1; i < k * 2; i++)
	{
		val = i*i;
		if (val == num)
			return true;
		if (val > num)
			break;
	}
	return false;
}

法三：此外，想到常用的二分法，居然也是超时通不过。

代码如下：

bool isPerfectSquare(int num)
{
	int left = 0, right = num, mid = 0, tmp = 0;
	while (left <= right)
	{
		mid = (left + right) / 2;
		tmp = mid*mid;
		if (tmp == num)
			return true;
		if (tmp < num)
			left = mid + 1;
		else
			right = mid - 1;
	}
	return false;
}

法四：二分法能不过的原因还是对于大一点的数，查找的范围太广了。可结合方法二，先将查找范围确定在（k，2k），再使用二分法，显然对于比较大的数，执行效率将比法二高得多。此法亦能通过。

代码如下：

bool isPerfectSquare(int num)
{
	if (num == 1)
		return true;
	long long k = num / 2, val = 0;
	while (true)
	{
		val = k*k;
		if (val == num)
			return true;
		if (val < num)
			break;
		k /= 2;
	}
	long long left = k, right = k * 2, mid = 0;
	while (left <= right)
	{
		mid = (left + right) / 2;
		val = mid*mid;
		if (val == num)
			return true;
		if (val < num)
			left = mid + 1;
		else
			right = mid - 1;
	}
	return false;
}