P1828 [USACO3.2]香甜的黄油 Sweet Butter 题解

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简要题意：

给定一个 \(n\) 个点的无向图，有边权。有 \(k\) 个仓库，每个点属于一个仓库。

你需要选定 \(k\) 个仓库其中的一个使得所有点到它的最短路上的边权之和最小。求这个最小的和。

\(n \leq 800\).

一看到 \(n \leq 800\)，算法很明显。有两种解决方案。

算法一

利用 \(\text{Floyd}\).

可以用 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的时间求出两两最短路。

下面大力统计即可。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^3)\).

实际得分：\(0pt\).

算法二

利用 \(\text{SPFA}\)$.

同样是求两两点最短，考虑 \(n\) 次单源，用 \(\text{SPFA}\) 做到 \(\mathcal{O}(n^3)\).

实际上这东西跑不满。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^3)\).

实际得分：\(100pts\).（不可能跑满啊）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

int n,p,c;
vector<pair<int,int> >G[2001];
int dis[2001],vis[2001],a[2001];

inline int SPFA(int stc) { //SPFA 单源求出所有点到 stc 的最短路
	queue<int>q;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); dis[stc]=0; vis[stc]=1;
	q.push(stc);
	while(!q.empty()) {
		int u=q.front(); q.pop(); vis[u]=0;
		for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
			int v=G[u][i].first,c=G[u][i].second;
			if(dis[v]>dis[u]+c) {
				dis[v]=dis[u]+c;
				if(!vis[v]) {
					vis[v]=1; q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	int s=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) s+=dis[a[i]];
	return s; //统计当前仓库的答案
}

int main(){
	n=read(),p=read(),c=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=c;i++) {
		int u=read(),v=read(),w=read();
		G[u].push_back(make_pair(v,w));
		G[v].push_back(make_pair(u,w));
	}
	int mini=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=p;i++) mini=min(mini,SPFA(i));
	printf("%d\n",mini); //最小答案
	return 0;
}

算法三

考虑数据加强：\(n \leq 2000\).

同样求两两最短路，用 \(n\) 次 \(\text{Dijkstra}\) 即可做到 \(\mathcal{O}(n^2 \log n)\).

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^2 \log n)\).

实际得分：\(100pts\).