海伦公式的证明
海伦公式
一个边长为 \(a,b,c\) 的三角形,其面积为:
\[\sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}
\]
其中 \(p=\frac{a+b+c}{2}\).
高
求面积当然要从高入手,如图:
其中 \(D\) 为垂足,\(h\) 为高。设 \(BD = x\),则 \(DC = a - x\).
可以得到:
\[\begin{cases}
c^2 = x^2 + h^2 \\
b^2 = (a-x)^2 + h^2
\end{cases}\]
勾股定理的应用
可得
\[c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2
\]
\[c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2
\]
\[2ax = c^2 - b^2 + a^2
\]
\[x=\frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a}
\]
那么:
\[h^2 = c^2 - x^2
\]
\[= (c - \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})(c + \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})
\]
\[= \frac{2ac-c^2+b^2-a^2}{2a} \cdot \frac{2ac+c^2-b^2+a^2}{2a}
\]
\[= \frac{-[(a-c)^2 - b^2]}{2a} \cdot \frac{(a+c)^2-b^2}{2a}
\]
\[= -\frac{(a-b-c)(a+b-c)(a+c-b)(a+b+c)}{4a^2}
\]
\[= \frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}
\]
则:
\[h = \sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}}
\]
\[= \frac{1}{2a} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
\]
面积
\(\therefore\)
\[S= \frac{ah}{2}
\]
\[= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
\]
\[= \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
\]
令 \(p=\frac{a+b+c}{2}\),则:
\[\begin{cases}
a+b-c = (a+b+c)-2c = 2p-2c = 2(p-c) \\
a+c-b = (a+b+c)-2b = 2p-2b = 2(p-b) \\
b+c-a = (a+b+c)-2a = 2p-2a = 2(p-a) \\
a+b+c = 2p
\end{cases}\]
\(\therefore\)
\[S = \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
\]
\[= \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2 (p-c) \cdot 2 (p-b) \cdot 2 (p-a) \cdot 2p}
\]
\[= \sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}
\]
得证。
简易的代码胜过复杂的说教。