P1440 求m区间内的最小值 题解

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简要题意：

给定 \(n\) 个数 \(\{a_i\}\) 和一个 \(m\)，输出所有 \(1 \leq i \leq n\) 的 \(\min_{\max(1, i-m+1)}^{i} a_i\).

\(n,m \leq 2 \times 10^6\).

显然这就是 对每个数求出其前 \(m\) 个数的最小值。

朴素令 \(f_i = \min_{\max(1, i-m+1)}^{i} a_i\)，\(\mathcal{O}(n^2)\) 炸的飞起。

当然你用线段树，树状数组，\(\text{RMQ}\) 来维护区间最小都是 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的，不够优，常数还不一定能过。

我们考虑如何从 \([l,r] \rightarrow [l+1,r+1]\) 即可。

用一个队列 \(q\)，维护当前 可能会影响答案的编号。

什么叫做 可能会影响答案？

比方说当前求的是编号 \(i\) 的答案，那么显然，编号 \(u<i-m+1\) 就应该出队，因为 所以包括 \(i\) 在内之后的节点都不可能用到编号 \(u\) 来作为决策了。

其次，如果存在 \(u\) 使得 \(u < i , a_u > a_i\)，这时候你会发现，\(i\) 节点的价值比 \(u\) 更高。因为，\(i\) 节点及以后的点用 \(i\) 的次数比用 \(u\) 的次数多，而 \(i\) 的决策又始终比 \(u\) 优，那么 \(u\) 就可以出队了。

我们把当前区间的最小值编号始终放在第一位，以便取出。

时间复杂度： \(\mathcal{O}(n)\).（每个点入队一次，出队一次）

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e6+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int n,m,a[N],q[N];
int l=1,r=0;

int main() {
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		printf("%d\n",a[q[l]]);
		while(i-q[l]+1>m && l<=r) l++; //无效节点
		while(a[i]<a[q[r]] && l<=r) r--; //i 比当前节点更优
		q[++r]=i; //i 入队作为一个新的决策
	}
	return 0;
}