CF1374B Multiply by 2, divide by 6 题解

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简要题意：

\(T\) 组询问，给定一个数 \(n\)，每次你可以将当前的数 \(\times 2\) 或者 \(\div 6\)，问最少多少次操作可以将其变为 \(1\). 无法变为 \(1\) 则输出 \(-1\).

\(T \leq 2 \times 10^4 , n \leq 10^9\).

首先我们考虑，什么时候无解。

你会发现，对于一个数 \(n\)，我们 本质上的操作 只有 \(\div3\) 和 \(\div2\) 两种。因为，\(\times 2 \div 6 = \div 3\)，而 \(\div 6 = \div 2 \div 3\).

所以你会发现一件非常重要的事情：

• 若 \(n\) 不能表示成 \(n = 2^x 3^y\) 的形式，那么肯定无解。

因为除 \(2,3\) 以外的质因数无法被除掉了。

接下来，我们用 \(\mathcal{O}(\log n)\) 的时间求出 \(x\) 和 \(y\).

但是你会发现，如果 \(x>y\) 显然是无解。如果无法理解可以继续往下看。

假设我们进行 \(m\) 次 \(\times 2\) 操作，\(n\) 次 \(\div 6\) 操作后变成 \(1\)，则存在：

\[\begin{cases} m = y - \min(x,y) \\ n = \max(x,y)\\ \end{cases}\]

那么，\(m+n = y - \min(x,y) + \max(x,y)\)，这就是答案。

但是你会发现一个问题，如果 \(x > y\) 的话，此时 \(\min(x,y) = y\)，\(m=0\)？

显然 \(m=0\) 是不可能完成的。所以 \(x \leq y\) 才会有答案。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(T \log n)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int main() {
	int T=read(),n; while(T--) {
		n=read(); if(n==1) puts("0");
		else {
			int x=0,y=0;
			while(!(n&1)) x++,n>>=1;
			while(!(n%3)) y++,n/=3;
			if(n!=1 || x>y) puts("-1");
			else printf("%d\n",x+2*(y-x));
		}
	}
	return 0;
}